4.1.1n次方根与-分数指数幂

4.1.1n次方根与分数指数幂高一数学组【学习目标】1、理解n次方根和根式的概念并掌握根式的性质。2、能利用根式的性质对根式进行运算。3理解有理数指数幂含义，掌握根式与有理数指数幂的互化。4、掌握有理数指数幂的运算及其性质。创设情境、引入新课一这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到有理数.为此，需要先学习根式的知识.问题1：我们已经知道，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，…在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数cS记作12cS这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？创设情境、引入新课一问题2：①4的平方根是什么？8的立方根是什么？②回忆平方根的概念是什么？立方根的概念是什么？【解】①±2；2②一般的，如果一个数的平方等于a，那这个数就叫a的平方根.一般的，如果一个数的立方等于a，那这个数就叫a的立方根.学生探索、尝试解决二问题3：类比初中的平方根和立方根回答n次方根是如何定义的？a的n次方根的定义：如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.xn＝a二问题4：①a的n次方根该如何表示？正数的偶次方根有几个？一个数的奇次方根有几个？a的n次方根的表示：1.当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈.2.当n是偶数时，a的n次方根表示为，其中表示a的负的n次方根，a∈．±naR－na[0，＋∞)两个；1个na学生探索、尝试解决②根式的定义是什么？学生探索、尝试解决二提示：不一定．③深入思考教材P105探究问题nna表示na的n次方根，nnaa一定成立吗？如果不一定成立，那么nna等于什么？学生探索、尝试解决二根式的性质(1)(na)n＝(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a0，且n1).(2)nan＝n为奇数，且n1，n为偶数，且n1.aa|a|学生探索、尝试解决二因为任何数的偶次方根都是非负数.④为什么负数没有偶次方根？学生探索、尝试解决二学生探索、尝试解决二例1：①完成教材典型例题P105例1求下列各值.（1）33(8)；（2）2(10)；（2）44(3)；（4）2()ab.332242(1)(8)8;(2)(10)1010;(3)(3)33;,,(4)(),.ababababbaab解：②判断下列运算是否正确（1）1051025255()(0);aaaaa（2）1231243433()(0).aaaaa你能得到什么结论？提示：正确结论：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.学生探索、尝试解决二学生探索、尝试解决例如能否把34a，32b，54c写成下列形式：3344(0);aaa2323(0);bbb5544(0).ccc是能问题5：①P105思考问题当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？二②正数的正分数指数幂的意义是什么？类比于负整数指数幂的意义，正数的负分数指数幂的意义是什么？0的正分数指数幂的意义是什么？0的负分数指数幂的意义是什么？学生探索、尝试解决二(1)正数的正分数指数幂的意义是：amn＝(a0，m，n∈N*，且n1)．nam(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：amn＝1amn＝(a0，m，n∈N*，且n1)．(3)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．1nam0无意义学生探索、尝试解决二(1)aras＝(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．ar＋sarsar·br问题6：有理数指数幂有哪些运算性质？学生探索、尝试解决二运用规律，解决问题三P106例2求值：（1）238；（2）3416()81222332333333344344444(1)8(2)2=2=4168133327(2)()()()()().81162228；解：例3用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中0a）：（1）322aa；（2）3aa.2282322233314211333322;(2)()().aaaaaaaaaaaa解：（1）三例4计算下列各式（式中字母均为正数）：（1）31884()mn；（2）32324()aaa；（3）211511336622(2)(6)(3)ababab.(1)4a23(2)mn6(3)aa三变练演练、深化提高四解析：由题意得a－1≥0，即a≥1.∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.答案：a－12．计算下列各式的值：(1)3－43；(2)4－92；(3)63－π6；(4)8x－28.解：(1)3－43＝3－64，因为(－4)3＝－64，所以3－64＝－4，即3－43＝－4.(2)4－92＝481＝434＝3.(3)63－π6＝|3－π|＝π－3.(4)8x－28＝|x－2|＝x－2，x≥2，2－x，x＜2.3.用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.[精解详析](1)原式＝a13·a14＝a13＋14＝a712.(2)原式＝a12·a14·a18＝a111248＝a78.(3)原式＝a23·a32＝a2332＝a136.(4)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a2132b32＝a76b32.4．化简：a23b12·(－3a12b13)÷13a16b56．解：a23b12·(－3a12b13)÷13a16b56＝－9a211326b115236＝－9a.信息交流、教学相长五在指数幂xa中,通常要限定0a这个条件,为什么?当堂检测1．以下说法正确的是（）Ａ．正数的n次方根是正数Ｂ．负数的n次方根是负数Ｃ．0的n次方根是0()（nZＤ．a的n次方根是na2．042(4)aa有意义，则a的取值范围是（）Ａ．2aＢ．2a且4aＣ．2aＤ．4a3.若0x，则22xxxx4计算（1）1236（2）44(3)（3）32aa（4）04325270.0625+()+48（5）121121333225(3)(4)6ababab1.C;2.B;3.1-2𝒙;4.𝟏𝟔;𝝅−𝟑;𝒂;𝒂𝟏𝟏𝟏𝟐;-𝟓𝟒𝒂−𝟏𝟐𝒃−𝟑𝟐