高中数学好题速递400题(01—50)

好题速递11．已知P是ABC内任一点,且满足APxAByAC,x、yR,则2yx的取值范围是___．解法一：令1xyAQAPABACxyxyxy,由系数和1xyxyxy,知点Q在线段BC上．从而1APxyAQ．由x、y满足条件0,0,1,xyxy易知2(0,2)yx．解法二：因为题目没有特别说明ABC是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]fxxx,其中[]x表示不超过x的最大整数,如:[1.5]1[1.3]2，,当*[0)()xnnN，时,设函数()fx的值域为A,记集合A中的元素个数为na,则式子90nan的最小值为．【答案】13．【解析】当0,1n时,0xx,其间有1个整数；当,1nii,1,2,,1in时,2(1)ixxii,其间有i个正整数,故(1)112(1)12nnnan,9091122nannn,由912nn得,当13n或14时,取得最小值13．2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种好题速递31．已知直线l平面，垂足为O．在矩形ABCD中，1AD，2AB，若点A在l上移动，点B在平面上移动，则O，D两点间的最大距离为．解：设AB的中点为E，则E点的轨迹是球面的一部分，1OE，2DE，所以21ODOEED当且仅当,,OED三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种好题速递41．在平面直角坐标系xOy中，设定点,Aaa，P是函数10yxx图象上一动点．若点,PA之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题222222211112222APxaaxaxaxaaxxxx因为0x，则12xx，分两种情况：（1）当2a时，2min222APa，则10a（2）当2a时，2min24222APaa，则1a2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种好题速递51．已知,xyR，则222xyxy的最小值为．解：构造函数1yx，22yx，则,xx与2,yy两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点,xx与2,yy之间的距离平方，令222080222yxmxmxmmyx，所以22yx是与1yx平行的22yx的切线，故最小距离为2d所以222xyxy的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,OO的半径分别为12,rr，圆心距122OO，动圆C与圆12,OO都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,ee，则1212eeee的值为（）A．1r和2r中的较大者B．1r和2r中的较小者C．12rrD．12rr解：取12,OO为两个焦点，即1c若C与12,OO同时相外切（内切），则121221COCORrRrrr若C与12,OO同时一个外切一个内切，则121221COCORrRrrr因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122rrrreeeerrrr，不妨设21rr，则12212eeree2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种好题速递71．已知12,FF是双曲线222210,0xyabab的左右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M、N均在第一象限，当直线1//MFON时，双曲线的离心率为e，若函数222fxxxx，则fe．解：222,xycMabbyxa1FMbkac，所以ONbkac，所以ON的方程为byxac，所以2222221,22xyaacababNbcaccacyxac又N在圆222xyc上，所以2222222aacabccaccac所以322220eee，所以2222feeee2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个好题速递81．已知ABC的三边长分别为,,abc，其中边c为最长边，且191ab，则c的取值范围是．解：由题意知，,acbc，故1919101abccc，所以10c又因为abc，而1991016baabababab所以16c故综上可得1016c2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解：48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆224024xyxx上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当20OAOC时，则点C的纵坐标的取值范围是．解：设22cos,2sinA，22cos,2sinC，1，,22由20OAOC得：522cos所以5sin055sin2sin5,522cos1coscos1Cy2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种好题速递101．点D是直角ABC斜边AB上一动点，3,2ACBC，将直角ABC沿着CD翻折，使'BDC与ADC构成直二面角，则翻折后'AB的最小值是．解：过点'B作'BECD于E，连结,BEAE，设'BCDBCD，则有'2sin,2cos,2BECEACE在AEC中由余弦定理得22294cos12coscos94cos12sincos2AE在'RTAEB中由勾股定理得22222''94cos12sincos4sin136sin2ABAEBE所以当4时，'AB取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种好题速递111．已知函数421421xxxxkfx，若对于任意的实数123,,xxx均存在以123,,fxfxfx为三边长的三角形，则实数k的取值范围是．解：421111421212xxxxxxkkfx令110,13212xxgx当1k时，213kfx，其中当且仅当0x时取得等号所以若对于任意的实数123,,xxx均存在以123,,fxfxfx为三边长的三角形，只需223k，所以14k当1k时，213kfx，其中当且仅当0x时取得等号所以若对于任意的实数123,,xxx均存在以123,,fxfxfx为三边长的三角形，只需2213k，所以112k综上可得，142k2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种好题速递121．已知函数2221fxxaxa，若关于x的不等式0ffx的解集为空集，则实数a的取值范围是．解：222111fxxaxaxaxa所以0fx的解集为1,1aa所以若使0ffx的解集为空集就是1()1afxa的解集为空，即min()1fxa所以11a，即2a2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322CCCC种好题速递131．已知定义在R上的函数fx满足①20fxfx；②20fxfx；③在1,1上的表达式为21,1,01,0,1xxfxxx，则函数fx与函数122,0log,0xxgxxx的图象在区间3,3上的交点个数为．2．若5(1)ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2好题速递141．fx是定义在正整数集上的函数，且满足12015f，212fffnnfn，则2015f．解：212fffnnfn，212111fffnnfn两式相减得2211fnnfnnfn所以111fnnfnn所以201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008ffffffff2．某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有种．答案：144种好题速递151．若,ab是两个非零向量，且abab，3,13，则b与ab的夹角的取值范围是．解：令1ab，则1ab设,ab，则由余弦定理得22221111cos1cos22又3,13，所以11cos,22所以2,33，所以由菱形性质得25,,36bab2．若1()11nx的展开式中第三项系数等于6，则n=．答案：12好题速递161．函数22fxxx，集合,|2Axyfxfy，,|Bxyfxfy，则由AB的元素构成的图形的面积是．解：22,|2,|114Axyfxfyxyxy,|,|22Bxyfxfyxyxyxy画出可行域，正好拼成一个半圆，2S2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种好题速递171．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，112AEAB，在面ABCD中取一个点F，使1EFFC最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCDABCD补全成长方体，点1C关于面ABCD的