高中数学好题速递400题(51—100)

好题速递511．已知点,00Fcc是双曲线22221xyab的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆222xyc交于点P，且点P在抛物线24ycx上，则该双曲线的离心率是（）A、352B、5C、512D、512解：由222byxcaxyc得222abxcabyc或0xcy所以222,ababcc在24ycx上，所以4210ee，解得512e2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是．答案：54（或1024）好题速递521．过椭圆22194xy上一点M作圆222xy的两条切线，点,AB为切点，过,AB的直线l与x轴，y轴分别交于,PQ两点，则POQ的面积的最小值为．解：设00,Mxy，则直线l的方程为0020xxyy，所以直线l与x轴，y轴分别交于点,PQ的坐标为0022,0,0,xy而2200001943xyxy，所以003xy所以00223POQSxy2．已知等式232421401214(1)(12)xxxaaxaxax成立，则123aaa1314aa的值等于．答案：0好题速递531．已知两定点2,0A和2,0B，动点,Pxy在直线:3lyx上移动，椭圆C以,AB为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为．解：由于2c确定，所以离心率最大就是a最小．所以问题等价于在直线:3lyx上确定点P，使PAPB取得最小值．结合对称性可得，点A关于直线l的对称点为3,1M所以min26PAPBBM所以max42261326e2．正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种．答案：30好题速递541．已知数列na和nb中，1aa，nb是公比为23的等比数列．记2*1nnnabnaN，若不等式1nnaa对一切*nN恒成立，则实数a的取值范围是．解：因为2*1nnnabnaN，所以21nnnbab，所以11111112211302111111113nnnnnnnnnnnnnnnbbbbbaabbbbbbbb解得3012nnborb若32nb，则112332nb，即12312naba对一切正整数n成立，显然不成立若01nb，则112013nb对一切正整数n成立，只要101b即可，即2011aa解得2a2．已知2223401234(1)xxaaxaxaxax，则1234aaaa＝_____；1a______．答案：0，－2好题速递551．方程1169xxyy的曲线即为函数()yfx的图象，对于函数()yfx，有如下结论：①()fx在R上单调递减；②函数4()3Fxfxx不存在零点；③函数()yfx的值域是R；④()fx的图象不经过第一象限，其中正确的个数是．解：由1169xxyy知，,xy不能同时大于0，分类讨论：当0,0xy时，221169xy表示双曲线的一部分当0,0xy时，221169xy表示椭圆的一部分当0,0xy时，221916yx表示双曲线的一部分作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34yx是双曲线221169xy和221916yx的渐近线，所以结合图象可知曲线yfx与直线34yx没有交点，则430Fxfxx不存在零点．2．若x∈A则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为．答案：A具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C14+C24+C34+C44=15．好题速递561．已知正方形1111ABCDABCD的棱长为1，,MN是对角线1AC上的两点，动点P在正方体表面上运动，满足PMPN，则动点P的轨迹长度的最大值为．32解：动点P的轨迹为线段MN的中垂面与正方体表面的截痕．2．若5250125(1)(1)(1)...(1)xaaxaxax，则0a=．答案：32好题速递571．如图，在正方体1111ABCDABCD中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有11DDADDM，则动点M在面ABCD内的轨迹是．A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以1DD为轴线，以1DA为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有种．答案：180好题速递581．已知函数11fxx，2113fxx，121222fxfxfxfxgx，若,1,5ab，且当12,,xxab时，12120gxgxxx恒成立，则ba的最大值为．解：1121212212(),22(),fxfxfxfxfxfxfxgxfxfxfx即gx即为取11fxx，2113fxx中较大者．画出函数图象，且gx单调递增，所以单调递增区间,0,5ab，所以ba的最大值为5．2．若811xx的展开式中5x的系数是．答案：14好题速递591．设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为．解：2234zxxyy，所以xyz22134xyxyxxyyxy当且仅当2xy时，等号成立所以222122121222xyzyyyyy令10ty，则原式2111t所以212xyz的最大值为1.2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有种．答案：60好题速递601．定义,max,,aababbab，设实数,xy满足约束条件22xy，则max4,3zxyxy的取值范围是．解：14,213,2xyyxzxyyx作出22xy所对应的区域如图所示：由图可知：max4,37,10zxyxy2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种．答案：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460CCACA种．好题速递611．不等式22cos11sin0xxxx对0,1x恒成立，则的取值范围是．解：经整理为2sincos112sinsin0fxxx对0,1x恒成立，当0x时，0sin0f；当1x时，(1)cos0f所以sincos10，二次函数开口向上对称轴12sin0,12sincos1x所以需满足12sin205sin022,1212cos0kkkZ2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是．答案：58好题速递621．已知O为ABC的外心，且3A，coscos2sinsinBCABACmAOCB，则m．解：coscos2sinsinBCABACAOmAOAOCB所以222coscos2sin2sin2BcCbRmCB由正弦定理得coscos2cBbCRma，所以3sin22amAR2．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为种．答案：12好题速递631．已知115k，函数21xfxk的零点分别为1212,xxxx，函数2121xkgxk的零点分别为3434,xxxx，则4321xxxx的最小值为．解：由题可知312421,21,21,212121xxxxkkkkkk所以4243213112213142123221112121xxxxxxxxkkkkkkkkk当且仅当15k时，4321min1xxxx2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）答案：16好题速递641．已知实数,,abc满足2abc，2224abc，且abc，则a的取值范围是。解：由2abc得2bca又abc，故32a，即23a又2224abc，所以2224bcbca所以22bcaa所以,bc是方程22220xaxaa的两个小于a不等实根所以2222222420220aaaaaaaaaa，解得423a本题是2014年浙江文科16题的变式，虽然多加了abc的条件，本质上还是利用法解决2．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是种．答案：346好题速递651．已知函数3fxxxa，31gxx，若yfgx的图象关于y轴对称，则a．解：3321Fxfgxxxa此函数由外函数21ytta与内函数3tx复合而成由复合函数的奇偶性判定法则：“内偶则偶，内奇同外”可知，若yfgx为偶函数，只需21ytta为偶函数即可，故对称轴2102at，所以1a2．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有个．答案：174个好题速递661．已知离心率为e的椭圆222210xyabab与双曲线221xy有相同的焦点，且直线yex分别与椭圆相交与,AB两点，与双曲线相交于,CD两点，若,,COD依次为线段AB的四等分点，则e．解：设00,Dxex，则002,2Bxex所以22220002111xexxe且2220022441xexab，222ab所以化简得42480bb，解得2223b，所以222622322423eb2．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为。解：31122133521531332222550381CCCCCCAAAA好题速递671．已知双曲线222210xyabab，圆222:Oxya，过双曲线第一象限内任意一点00,Pxy作圆C的两条切线，其切点分别为,AB．若AB与x轴、y轴分别交于,MN两点，则2222baOMON（）A、22ba