层次分析法

北京联合大学应用文理学院实验（实训报告）课程名称数学建模综合实训实验（实训）名称用层次分析法来选择旅游目的地班级组别姓名同组者实验（实训）日期2011年4月20日完成日期2011年4月28日本实验（实训）所用学时统计预习实验（实训）报告总计评阅意见：成绩用层次分析法选择旅游目的地一、问题重述人们日常生活常常碰到许许多多的决策问题。例如选择旅游地点。市区风光绮丽的苏杭，还是去迷人的海南海滨，或者去山水甲天下的桂林，以后神秘的异域风情的国外城市。由于假期的时间，自身的资金等条件的束缚，往往只能选择一个地点去旅游。通过调查并了解到各地的景色、所需费用、居住条件、饮食习惯、旅途情况等信息，有助于人们更直观的认识到种种利好，并根据自身喜好做出取舍。这些信息所组成的是一个互相关联、相互制约而又往往缺乏定量数据的复杂系统。运用层次分析法来解析问题，对这一系统进行分析并建立一个数学模型，能够简单方便的找出最佳的旅游方针，有助于游客有针对性地选择目标地点，既满足了自身的种种喜好，又节省了时间效率。二、模型建立及求解2.1建立层次结构模型我们用层次分析法来解决旅游地选择问题，假设三个旅游胜地P1、P2、P3，决定我们选择旅游地的因素有：景色、费用、居住、饮食、旅途条件等点。首先，我们可以根据自己的爱好及经济条件等确定这些候选条件在心目中各占多大的比重，其次，我们就每一个准则将3个地点进行对比，譬如P1景色最好，P2费用最低，P3次之；P3居住等条件较好等等。最后，要将这两个层次的比较判断进行综合，得到如下层次结构模型图：图1选择旅游地的层次结构2.2生成成对比较矩阵并用根法得到权向量2.2.1生成成对比较矩阵元素之间两两对比，对比采用相对尺度，设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiijnnijaaaaA1,0,)(（1）C1,C2,…,C5依次表示旅游地的景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法（做24525C次对比）得到准则层对目标的成对比较阵：1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A（2）选择旅游地景色费用居住饮食旅途P1P2P3目标层：准则层：方案层：其中2112a表示景色C1与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为1：2；13a=4表示景色C1与居住条件C3之比为4：1；23a=7表示费用C2与居住条件C3之比为7：1。可以看出此人在选择居住地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。2.2.2使用根法得到组合权向量A=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11=097.0095.0176.0097.0085.0097.0095.0118.0098.0085.0032.0048.0059.0070.0064.0484.0476.0412.0490.0511.0290.0286.0235.0245.0255.0=550.0493.0273.0373.2311.1110.0098.0055.0475.0262.0=WAW=437.0382.0242.0424.2044.1073.5110.0437.0098.0382.0055.0242.0475.0424.2262.0044.1512.2.3计算组合权向量并作一致性检验13131312311138311381311121512121521321BBB144411141111141113143154BBB1~B5中的元素分别是方案层对应“景色准则、费用准则、居住准则、饮食列向量归一化按行求和归一化准则、旅途准则”的优越性的比较尺度；方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+0.0820.475+0.4290.055+0.6330.099+0.1660.110=0.300方案P2对目标的组合权重为0.2760.263+0.2360.475+0.4290.055+0.1920.099+0.1660.110=0.246方案P3对目标的组合权重为0.1280.263+0.6820.475+0.1430.055+0.1740.098+0.6670.110=0.456方案层对目标的组合权向量为T456.0,246.0,300.02.3通过一致性检验确认层次分析法有效已知λ连续地依赖于ija的事实可知，λ比n大得越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用n数值的大小来衡量A的不一致程度。定义一致性指标:1nnCI为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到ija，形成A，计算CI即得RI。n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.4514.91.51表随即一致性指标RI的数值权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标：018.0155073.5CI随机一致性指标RI=1.12一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.12.4最终结果准则景费居饮旅色用住食途总排序权值准则层权值0.26360.47580.05380.09810.1087方案层单排序权值P1P2P30.59540.08190.42900.63370.16670.27640.23630.42900.19190.16670.12830.68170.14280.17440.66670.3000.2460.456表旅游决策问题的整体计算结果由上表可知P3方案在旅游地选择中占的权重近于0.5，远大于P1，P2，故应作为第一选择地点。三、数值实验Matlab程序实现：cleara=[11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311];[x,y]=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci1=(lamda-5)/4;cr1=ci1/1.24;w1=x(:,1)/sum(x(:,1))b1=[1,2,5;1/2,1,2;1/5,1/2,1];[x,y]=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58w21=x(:,1)/sum(x(:,1))b2=[1,1/3,1/8;3,1,1/3;8,3,1];[x,y]=eig(b2);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci22=(lamda-3)/2;cr22=ci22/0.58w22=x(:,1)/sum(x(:,1))b3=[1,1,3;1,1,3;1/3,1/3,1];[x,y]=eig(b3);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(2);ci23=(lamda-3)/2;cr23=ci23/0.58w23=x(:,2)/sum(x(:,2))b4=[1,3,4;1/3,1,1;1/4,1,1];[x,y]=eig(b4);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci24=(lamda-3)/2;cr24=ci24/0.58w24=x(:,1)/sum(x(:,1))b5=[1,1,1/4;1,1,1/4;4,4,1];[x,y]=eig(b5);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(2);ci25=(lamda-3)/2;cr25=ci25/0.58w25=x(:,2)/sum(x(:,2))w_sum=[w21,w22,w23,w24,w25]*w1ci=[ci21,ci22,ci23,ci24,ci25];cr=ci*w1/sum(0.58*w1)结果：0.26360.4758w1=0.05380.09810.1087/*准则层权值*/cr21=0.00480.5954w21=0.27640.1283/*方案层对“景色”的组合权向量*/cr22=0.00130.0819w22=0.23630.6817/*方案层对“费用”的组合权向量*/cr23=-2.58621429.04286.04286.023w/*方案层对“居住”的组合权向量*/cr24=0.00790.6337w24=0.19190.1744/*方案层对“饮食”的组合权向量*/cr25=00.1667w25=0.16670.6667/*方案层对“旅途”的组合权向量*/4208.01415.0300.0_sumw/*权值总排序*/cr=-0.1365四、参考文献[1]杨启帆方道元，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999年；[2]姜启源谢金星，数学建模，北京：高等教育出版社，2003年；[3]李涛贺勇军，应用数学篇，北京：电子工业出版社，2000年。