关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

..关于前n个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6nSnnnn，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。方法一：数学归纳法当1n时，左边=211，右边=11(11)(211)16左边=右边∴1n时，原式成立.当2n时，左边=221+25，右边=12(21)(221)56左边=右边∴2n时，原式成立.假设nk时，22221123(1)(21)6kkkk成立，则1nk时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6kkkkkkkkkkkkkkkkkk左边左边=右边∴1nk时，原式成立...∴对任意nN，2222211234(1)(21)6nSnnnn都成立。数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n,一步步把右边的1(1)(21)6nnn“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345SnnSnnn12345…n1()Sn1361015…(1)2nn2()Sn15143055…?发现规律n12345…n21()()SnSn33537393113…213n212121(1)(1)(21)()()3326nnnnnnnSnSn方法三：代数推导法由公式33223()33abaababb，得33322333322332333223323332233233321(01)0301301112(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1nnnnn23323321(1)3(1)3(1)1(1)331nnnnnnn将以上n+1个等式累加，得：32222(1)3(123)3(123)1nnnn22223(1)(1)(21)3(123)(1)3122nnnnnnnn..22221123=(1)(21)6nnnn方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33nnnnnnnnnnnnnn122334(1)nAnn111[123012][234123][345234]3331[(1)(2)(1)(1)]3nnnnnn1[1230122341233452343(1)(2)(1)(1)]nnnnnn11[(1)(2)012](1)(2)33nnnnnn2222123122334(1)(123)nnnn1(1)1(1)(2)(1)(21)326nnnnnnnn方法五：构造法（利用组合公式11mmmnnnCCC）22222223222342224522211124133936416610nnCCCCCCCnCC把上述n个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26nnnnnnnnCCCCCCC方法六：平面几何法图中有n个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大..的矩形中。矩形的宽即n，矩形的长：2(1)12322nnnnn矩形面积：23222nnnnn左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=2(1)22iiii则第i条面积也为22ii。所有n-1条的总面积：22222222222222222222222112233(1)(1)2222[123(1)][123(1)]2(123)[123(1)]2(1)(123)22(123)22nnnnnnnnnnnnnn为便于书写，记12+22+32+…+n2=t2显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则232222nntnnt23222nnnntt(1)(21)6nnnt即：22222(1)(21)12346nnnn..方法七：三角阵法此三角阵中各项和为：222221234n再逆时针旋转60°：此三角阵中各项和为：222221234n再逆时针旋转60°：此三角阵中各项和为：222221234n将这3个三角阵相加：21n21n21n21n21n21n21n21n21n21n．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21n．．．．．．．．．．．．．．．．．．21n这个三角阵有(1)2nn项，则这三个三角阵的和为：(1)(21)2nnn.又因为前三个三角阵中各项的和相等，则每个三角阵中各项和为：(1)(21)6nnn即22222(1)(21)12346nnnn【参考文献】[1]杜春辉.导出222221234n公式的三种方法[J].数学学习与研究:教研版,2009,11:80