矩阵分析第4章ppt

§1矩阵的满秩分解定理：设，那么存在第四章矩阵的分解这章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极分解，谱分解。mnrAC,mrrnrrBCCCR(A)=r使得C行满秩B列满秩证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施行初等变换可以将其化成ABC其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。CBArA00rID即存在使得mmmPC10rrIAPIDBC00rIDPA于是有其中1,0mrrnrrrrIBPCCIDC10rrIAPIDBC注：[]rABIDBBDBAr为的前列如果的前列线性相关，那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在ArAr,mmnnmnPCQC且满足00rIDPAQ从而1111000rrrIDAPQIPIDQBC其中11,0mrrrrnrrIBPCCIDQC11rABIDQBDQAQBD所以B是A中r个线性无关的列121012122133(1)243145486281000123(2)00246例：分别求下面三个矩阵的满秩分解01011(3)0201103022解：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到4331221121012122133(1)2431454862810121012001121()000000000000rrrrrrr4222621011,2142121012001121BCCC第一列，第四列是线性无关的。我们也可以选取121012122133(1)243145486281012101200112100000000000012120111001121000000000000rr该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取42226211122346120111,001121BCCC所以，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。00123002460012300000()1RankA解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到也可以选取2111511,200123BCCC2111512,43100122BCCC选取解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到010110201103022010000001100000()2RankA所以，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取3222521121,320100000011BCCC定理：如果均为矩阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足11ABCBCAnnnC111,BBCC由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取行最简形矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解形式之间有如下联系：1111111111()()()()HHHHHHHHCCCBBBCCCBBB（2）证明：11ABCBC11HHBCCBCC11111111(),()HHHHBBCCCCBCCCC同理11112121(),()HHHHCBBBBCCBBBB111121BCBCBC111111121112HHHHBBCCBBCCI§2矩阵的正交三角分解例：设，那么可唯一地分解为或nnnACA11ARUAUR其中，是正线上三角矩阵，是正线下三角矩阵。1,nnUUUR1R证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到A12nAnnnAC12,,,n由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组()rAn11212211111111111,,,,,,rrrrrrrr第一步正交化12,,,r容易验证是一个正交向量组第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。121212,,,rrr12,,,r从正交化单位化可知111121212223131232333r1r12r2rrraaaaaaaaa0iia1111221122233113223331122rrrrrrccccccccc其中，于是有0,1,2,,iiicin1211211222120nnnnnnAccccccUR其中，12nnnnUU11211222nnnncccccRc显然矩阵是一个正线上三角矩阵。R121121122212rrrrrrrrAccccccUR注：矩阵是一个正线上三角矩阵RA是列满秩也有AURUR注意到是酉矩阵，而是一个正线上三角矩阵，由前面的结论可知因此有11UURR1UU1RR11,UUIRRI,UURR下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式那么有其中是正线下三角矩阵，而其中是正线上三角矩阵。于是nnnACnnTnACTAUR,nnUUR11TTARURU1R1nnUU因为有，所以，按照分解的存在性可知此结论也可以被推广为定理：设，则可以唯一地分解为其中是阶正线上三角矩阵，，即是一个次酉矩阵。mrrACAAURRrmrrUUU1122AURUR分解的唯一性证明。设证明：分解的存在性证明，同上面的例题完全一样。（见前面的注）列为两两正交的单位向量则因为是正定的Hermite矩阵（为什么？），由正定二次型的等价定理可知，其三角分解是唯一的，故，进一步有。1122HHHAARRRRHAA12RR12UU111100(1)010001221(2)022212AA例1：求下列矩阵的正交三角分解解：（1）容易判断出，即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将的三个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组433ACA123A111100010001A112122121113132331211223121100(,)1(,)2111022(,)(,)(,)(,)11111123333TTT再将其单位化，得到一组标准正交向量组111222333122002216660663133336662TTT123263266263266(,,)630363002UAUR111100010001A263266263266630363002R263266111263100266010630001363002TR222226602623003111100010001A263266263266630363002222226602623003AUR也可这样，原来的向量组用标准正交向量去表示112213321262222362362将上面的式子矩阵化，即为123123222226602623003AUR（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶正线上三角矩阵使得333AC33UURAUR221(2)022212A11212212111313233121122312202(,)3(,)411222(,)(,)(,)(,)3784849999TTT111222333122022122226361212333TTT再将其单位化，得到一组标准正交向量组123222263221033222263U222263221221022033212222263AURR2222632212210022332122222633232222232720264003TTRUA111121211223123112233334437374949另：1111231232233344709001233422,,32123123323222223702324003推论：设，则可分解为其中，是阶正线上三角矩阵，是阶正线下三角矩阵。mnrACA1122AURLU12,mrrnrrUUUUr1R2LrA()()()HHRankAARankAARankA§3矩阵的奇异值分解引理1：对于任何一个矩阵都有§3矩阵的奇异值分解引理1：对于任何一个矩阵都有A()()()HHRankAARankAARankA00HAxAAx00()0HHHHAAxxAAxAxAx0Ax00HAxAAx与同解设，是的特征值，引理2：对于任何一个矩阵都有与都是半正定的Hermite-矩阵。AHAAHAAmnrAC1212121200rrrmrrrniiHAAHAA()0HHHxAAxAxAx是的特征值，它们都是实数。如果记特征值与之间有如下关系。iimnrAC0,1,2,,iiir0,1,2,,iiiirA例：求下列矩阵的奇异值为矩阵的正奇异值，简称奇异值。同时，我们称定理：设，那么HHHHAAxxAAAxAx12(1)0000011(2)200AA例：求下列矩阵的奇异值显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为500000000HAAHAA5A解：（1）由于（2）由于1210000200