《指数函数及其性质》第二课时课件

2.1.2指数函数的图像及其性质20世纪60年代初的三年自然灾害以后，我国人口增长出现高峰。1964年全国第二次人口普查数据显示，当时总人口已接近9亿。通过计划生育政策将人口平均增长率控制在1%，那么经过50年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？1964年底，我国人口约为9亿.经过1年(即1965年)，人口数为：9+9×1%=9×(1+1%)(亿)经过2年(即1966年)，人口数为：9×(1+1%)+9×(1+1%)×1%=经过3年(即1967年)，人口数为：9×(1+1%)2+9×(1+1%)2×1%=9×(1+1%)2(亿)9×(1+1%)3(亿)解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿。解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿。所以，经过x年，人口数为：y=9×(1+1%)x=9×1.01x当x=50时，y=9×1.0150≈15（亿）所以经过50年后，我国的人口数最多为15亿。我们把形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数。如若不推行计划生育政策，y=9×1.0250≈24.3（亿）问题一：指数函数的定义理解（形式定义）形如函数称作指数函数；例1.判断下列函数中，哪些是指数函数？变式1.若函数是指数函数，则a=?(1)2xyxy)2(xy2)3(xy12)4(xy)5(a10a1图象xy0y=1y=ax(a1)y0(0a1)xy=1y=ax(0,1)a10a1图象特征a10a1函数性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近.1.定义域为R，值域为(0,+).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.指数函数（a0且a≠1)的图像及性质归纳：利用指数函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)1.52.5与1.53.2；(2)0.6－1.2与0.6－1.5；(3)58－23与1；(4)45－12与91013.[思路探究]利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么?[边听边记](1)函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.53.2，∴1.52.51.53.2.(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2－1.5，∴0.6－1.20.6－1.5.(3)因为0581，所以函数y＝58x在定义域R内是减函数，又因为－230，所以58－23580＝1，所以58－231.比较幂值大小的三种类型及处理方法比较下列各题中两个数的大小：(1)30.8，30.7(2)0.75-0.1，0.750.1解：(1)底数3＞1,所以指数函数y=3x为。增函数因为0.8＞0.7，所以30.830.7(2)底数0.75＜1,所以指数函数y=0.75x为。减函数因为-0.1＜0.1，所以0.75-0.10.750.1＞＞比较下列各题中两个数的大小：(1)20.7，50.7(2)0.6-0.5，0.8-0.5(3)22.7，0.72.7(4)0.92.5，2.50.9xyo..g(x)=2xf(x)=5xf(x)=0.6xg(x)=0.8xf(x)=2xg(x)=0.7xg(x)=0.9xf(x)=2.5xxyoxyoxyo0.7..-0.5..2.7..0.92.520.7＜50.70.6-0.5＞0.8-0.522.7＞0.72.70.92.5＜2.50.9如图曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx,的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是？ba1dc变式训练指数函数图象与底数的关系解：(1)由于2＞1,所以y=2x在R上是。增函数因为2m＜2n，所以mn(2)底数0.3＜1,所以y=0.3x在R上是。减函数因为0.3m＜0.3n，所以mn＞＜已知下列不等式，比较m、n的大小(1)2m＜2n(2)0.3m＜0.3n(3)am＜an(0＜a＜1)(4)am＞an(a＞1)解：(3)由于0＜a＜1,所以y=ax在R上是。减函数因为am＜an，所以mn＜已知下列不等式，比较m、n的大小(1)2m＜2n(2)0.3m＜0.3n(3)am＜an(0＜a＜1)(4)am＞an解简单的指数不等式(1)解不等式13x2－2≤3x；(2)已知(a2＋2a＋3)x(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．•[思路探究]•1．未知数在什么位置？•2．如何转化为常规不等式？(2)∵a2＋2a＋3＝a＋12＋21，∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．∴x1－x，解得x12.∴x的取值范围是xx12.解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．2．如果a－3xax＋8(a0且a≠1)，求x的取值范围．解析：①当a1时，y＝ax是增函数，由a－3xax＋8得－3xx＋8，解得x－2.②当0a1时，y＝ax是减函数，由a－3xax＋8得－3xx＋8，解得x－2.指数函数性质的综合应用问题已知函数f(x)＝a－12x＋1(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．•[思路探究]•已知奇偶性，如何求解析式中的参数？[规范解答](1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1x2，1分则f(x1)－f(x2)＝a－12x1＋1－a＋12x2＋1＝2x1－2x2＋2x1＋2x2.3分∵x1x2，∴2x1－2x20，(1＋2x1)(1＋2x2)0.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以不论a为何实数f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数.5分(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，7分即a－120＋1＝0，解得a＝12.8分经检验，a＝12时，f(x)＝12－12x＋1是奇函数.9分(3)由(2)知，f(x)＝12－12x＋1，由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).12分∵f(1)＝12－13＝16，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.14分3．已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋a2x，a为常数，若f(x)为偶函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域．解析：(1)由f(x)为偶函数，得对任意实数x都有2x＋a2x＝12x＋a·2x成立，即2x(1－a)＝12x·(1－a)，∴1－a＝0，∴a＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x＋12x，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12x1－2x2＋12x2＝(2x1－2x2)＋12x1－12x2＝(2x1－2x2)＋2x2－2x12x1·2x2＝(2x1－2x2)1－12x1＋x2＝(2x1－2x2)·2x1＋x2－12x1＋x2，(*)当x1x2，且x1，x2∈(0，＋∞)时，2x12x2，2x1＋x21，∴(*)式小于0，从而f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)由(2)及f(x)为偶函数知f(x)＝2x＋12x在(－∞，0)上单调递减，令t＝2x0，则y＝t＋1t(t0)，∴函数y＝t＋1t(t0)在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，∴函数f(x)的值域为[2，＋∞).