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《大学物理AIIAIIAIIAII》作业No.8No.8No.8No.8量子力学基础一、选择题1.如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的[A](A)动量大小相同。(B)能量相同。(C)速度大小相同。(D)动能相同。解：由德布罗意关系λhp=可知，粒子波长相同，动量大小必然相同。由于粒子质量不同，所以，粒子速度、动能和能量将不同。2.若α粒子在磁感应强度大小为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是[A](A)eRBh2(B)eRBh(C)eRB21(D)eRBh1解：由BvqF���×=和RvmFn2=，有半径eBmvqBmvR2==，所以德布罗意波长eBRhmvh2==λ。3.设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？[A]解：由不确定关系ℏ≥∆⋅∆xpx可知，x∆大，xp∆小，图(A)x∆最大，所以xp∆最小，确定粒子动量的精确度最高。4.关于不确定关系⎟⎠⎞⎜⎝⎛=≥∆⋅∆π2hpxxℏℏ有以下几种理解：(1)粒子的动量不可能确定。(2)粒子的坐标不可能确定。(3)粒子的动量和坐标不可能同时确定。(4)不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。()Dxxxx()A()B()C其中正确的是：[C](A)(1)、(2)(B)(2)、(4)(C)(3)、(4)(D)(4)、(1)5.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()axaaxax≤≤−⋅=23cos1πψ那么粒子在6/5ax=处出现的概率密度为[A](A)a21(B)a1(C)a21(D)a1解：概率密度()axax23cos122πψ=，将6/5ax=代入，得()aaaax216523cos122=⋅=πψ二、填空题1.若中子的德布罗意波长为2Å，则它的动能为J1029.321−×。(普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h，中子质量kg1067.127−×=m)解：λhp=，由经典动能公式得动能()()()()J1029.31021067.121063.622212121027234222−−−−×=×××××====mhmpmvEkλ2.低速运动的质子P和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比αpp:p＝1:1；动能之比αEE:p＝4:1。解：由λhp=，二者λ相同，所以1:1:p=αpp。由经典关系，动能mpE22=，所以1:4::pp==mmEEαα3.静质量为em的电子，经电势差为12U的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝122eUmhe。解：电子的动能21221vmeUEek==，动量122eUmvmpee==，德布罗意波长122eUmhphe==λ4.如果电子被限制在边界x与xx∆+之间，5.0=∆xÅ则电子动量的x分量的不确定量近似地为23103.1−×-1smkg⋅⋅。(不确定关系式hpxx≥∆⋅∆，普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h)解：()1231034smkg1033.1105.01063.6−−−−⋅⋅×=××=∆≥∆xhpx5.设描述微观粒子运动的波函数为()tr,�ψ，则*ψψ表示粒子在t时刻在(x,y,z)处出现的概率密度；()tr,�ψ须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是1dd2=⋅∫∫∫∞ydzxψ。三、计算题1．如图所示，一电子以初速度-160sm100.6⋅×=v逆着场强方向飞入电场强度为E=500V⋅m-1的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离d，可使得电子的德布罗意波长达到1=λÅ。(飞行过程中，电子的质量认为不变，即为静止质量kg1011.931−×=em，基本电荷C1060.119−×=e；普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h)解：由vmhphe==λ，得电子的末速度()16103134sm1028.7101011.91063.6−−−−⋅×=×××==λemhv电子的加速度()2133119sm1078.81011.9500106.1−−−⋅×=×××==emeEa由运动学公式advv2202=−得de0vE()()()m1066.91078.82100.61028.722132626202−×=×××−×=−=avvd2．同时测量能量为1keV的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm()m10nm19−=内，则动量的不确定值的百分比pp/∆至少为何值？(电子质量kg1011.931−×=em，J1060.1eV119−×=，普朗克常量sJ1063.634⋅×=−h)解：电子的动能()J106.1keV116−×==kE，又ekmPE22=，得电子的动量大小()1231631smkg1071.1106.11011.922−−−−⋅⋅×=××××==keEmp根据不确定关系ℏ≥∆⋅∆xpx，得动量不确定量sJh⋅×=××==−−34341006.114.321063.62πℏ()124924smkg1006.1101.01006.1−−−−⋅⋅×=××=∆≥∆xpℏ所以有%2.6062.01071.11006.12324==××=∆−−pp3.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()axaxnaxn⎟⎠⎞⎜⎝⎛=0sin2πψ若粒子处于n＝1的状态，在a41~0区间发现粒子的概率是多少?[提示：Cxxxx+−=∫2sin4121dsin2]解：()axaxπψ221sin2=，()∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅===4024024021adsin2dsin2daaaxaxaaxaxaxxPππππψ%1.9091.042sin414222sin4121240==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅=aaaaaxaxaππππππ