反比例函数经典讲义

1反比例函数讲义第1节反比例函数本节内容：反比例函数定义反比例函数定义的应用（重点）1、反比例函数的定义电流I、电阻R、电压U之间满足关系式：U=IR当U=220V时，可以用含有R的代数式表示I：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I较小时，灯光较暗；当电流I较大时，灯光较亮。一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xkyk(为常数，)0k的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。小注：（1）xky也可以写成1kxy或kxy的形式；（2）xky若是反比例函数，则x、y、k均不为零；（3）kxy)0(k通常表示以原点及点yx,为对角线顶点的矩形的面积。■例1下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。①3xy②131xy③xy2④2211xy⑤xy23⑥21xy⑦28xy⑧1xy⑨2xy⑩xkyk(为常数，)0k2、反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式。■例2由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。（1）求I与R的函数关系式；（2）当R=5欧姆时，求电流强度。本节作业：1、小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明的步行速度min)/(my可以表2示为xy1500；水名地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为x2m，那么该物体对地面的压强)/(2mNy可以表示为xy1500。函数表达式xy1500还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y与x。（1）你能写出y与x之间的函数表达式吗？变量y与x之间是什么函数？（2）若想使模具的长比宽多1.6m，已知每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？3、若函数满足023xy，则y与x的函数关系式为______________，你认为y是x的______________函数。4、已知y=21yy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，并且当x=2时，y=—4；当x=—1时，y=5，求出y与x的函数关系式。5、已知y是x的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y是x的正比例函数还是反比例函数？你能写出函数的表达式，并填上表格中的空缺吗？x…-3-2134…y…233—2343…6、函数xky的图象经过点A（1，—2），则k的值为（）。A．21B.21C.2D.—27、若函数132)1(mmxmy是反比例函数，则m的值为（）。A．m=—2B.m=1C.m=2或m=1D.m=—2，或m=—18、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时x千米，从甲市到乙市所需的时间为y小时，那么y与x的函数表达式是_______________________（不必写出x的取值范围），y是x的__________函数。9、已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=—1，那么，当y=3时，x=_________；当x=3时，y=________。第2节反比例函数的图象与性质本节内容：反比例函数的图象及其画法反比例函数的性质（重点）3反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义（难点）反比例函数与正比例函数图象的交点1、反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：（1）列表——自变量取值应以0（但)0(x为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y的值；（2）描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3）连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。反比例函数xky的图象是由两支曲线组成的。当0k时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k时，两支曲线分别位于第二、四象限内。小注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。（2）这两支曲线关于原点对称。（3）反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。例1：画出反比例函数xy6与xy6的图象。解：（1）列表：（2）描点：4（3）连线。1反比例函数的性质反比例函数xky)0(kk的符号k0k0图象（双曲线）x、y取值范围x的取值范围x≠0y的取值范围y≠0x的取值范围x≠0y的取值范围y≠0位置第一,三象限内第二,四象限内增减性每一象限内,y随x的增大而减小每一象限内,y随x的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.5对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2已知2(1)mymx是反比例函数，则函数的图象在（）A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限例3函数2ykx与kyx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）例4已知反比例函数xky的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限3反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义（难点）k的几何含义：反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.例5A、B是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．2SB．4SC．24SD．4S例6如图A在反比例函数(0)kykx的图象上，AMx轴于点M，AMO△的面积为3，则k4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象交于(21)(1)ABn，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB△的面积．OBxyCA图1OyxBA6oyxoxyxyoyox本节练习一、选择题（每小题6分，共36分）1.已知2(1)mymx是反比例函数，则函数的图象在（）A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx的图象经过点(12)，，则这个函数的图象一定经过点（）Ａ、(21)，Ｂ、122，Ｃ、(21)，Ｄ、122，3.反比例函数5nyx的图象经过点（2，3），则n的值是（）A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可为（）A、1B、0C、1D、25.如果两点1P（1，1y）和2P（2，2y）都在反比例函数1yx的图象上，那么（）A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0D．1y＞2y＞06.函数(0)kykx的图象如图所示，那么函数ykxk的图象大致是（）ABCD二、填空题（每小题6分，共24分）7.如果反比例函数kyx（0k）的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是_________.当0x时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小）8.如图7，双曲线xky与直线mxy相交于A、B两点，B点坐标为(－2，－3)，则A点坐标为_________．9.如图8，点A在反比例函数xky的图象上，AB垂直于x轴，若4AOBS，那么这个反比例函数的解析式为__________.Oxy7图810.老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题，共40分11.（20分）如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．12.（20分）如图，已知反比例函数1(0)mymx的图象经过点(21)A，，一次函数2(0)ykxbk的图象经过点(03)C，与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．第3节反比例函数的应用本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1.面积一定的梯形，其上底长是下底长的21，设下底长x=10cm时，高y=6cm(1)求y与x的函数关系式；(2)求当y=5cm时，下底长多少？16.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6m3时，它的密度ρ=1.65kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式.8(2)当气体体积是1m3时，密度是多少？(3)当密度为1.98kg/m3时，气体的体积是多少？例题2如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=－x+m+3的图象与反比例函数y=xm的图象在第二象限的交点，且S△AOB=1，求点A的坐标.例题3某厂要制造能装250mL(1mL=1cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是xcm的易拉罐用铝量是ycm3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u与t成反比，且当u＝6时，81t，这个函数解析式为；2、函数2xy和函数xy2的图像有个交点；3、反比例函数xky的图像经过（－23，5）点、（a，－3）及（10，b）点，则k＝，a＝，b＝；4、若函数414mxmy是正比例函数，那么m，图象经过象限；5、若反比列函数1232)12(kkxky的图像经过二、四象限，则k=_______96、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为；7、已知正比例函数kxy与反比例函数3yx的图象都过A（m，1），则m＝，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；8、设有反比例函数ykx1，(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点，若xx120时，yy12，则k的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xky的图象，则k与0的大小关系是k0.10、函数xy2的图像，在每一个象限内，y随x的增大而；11、反比例函数0kxky在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是；12、7225mmxmy是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m的值为；二、选择题：（分数3分×14=42分，并把答案填在第12题后的方框内）1、下列函数中，反比例函数是（）A、1)1(yxB、11xyC、21xyD、xy312、已知反比例函数的图像经过点（a，b），则它的图像一定也经过（）A、(－a,－b)B、(a,－b)C、(－a，b)D、（0，0）3、如果反比例函数xky的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（）A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D、第三、四象限4、若y与－3x成反比例，x与z4成正比例，则y是z的（）A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定5、若反比例函数22)12(mxmy的图像在第二、四象限，则m的值是（）A、－1或1B、小于21的任意实数C、－1Ｄ、不能确定6、函数xky的图象经过点（－4，6），则下列各点中不在xky图象上的是（）A、（3，8）B、（3，－8）C、（－8，－3）D、（－4，－6）yxOPM107、正比例函