对数函数复习课件

必考部分第二章函数、导数及其应用第六节对数函数考纲点击1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，且a≠1)明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_________.2．对数的性质、换底公式与运算法则x＝logaN性质①loga1＝__；②logaa＝__；③alogaN＝__(a0且a≠1)换底公式_____________________________________________如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(M·N)＝_________________，②logaMN＝____________________，运算法则③logaMn＝nlogaM(n∈R).01Nlogab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b0)logaM＋logaNlogaM－logaN3.对数函数的定义、图象与性质定义函数_______(a0且a≠1)叫做对数函数a10a1图象y＝logax定义域：____________值域：_________________当x＝1时，y＝0，即过定点______当0x1时，y0；当x1时，________.当0x1时，y0；当x1时，______.性质在(0，＋∞)上为________在(0，＋∞)上为______(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1,0)y0y0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数__________(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．y＝logaxy＝x1．log225·log322·log59＝()A．3B．4C．5D．6基础自测解析：log225·log322·log59＝2log25·32log32·2log53＝6.答案：D2．(2013·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：设y＝f(x)，t＝3x＋1.则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案：A3．已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．cab解析：将三个数都和中间量1相比较：0a＝log0.70.81，b＝log1.10.90，c＝1.10.91.答案：C4．函数y＝log132x－3的定义域为__________．解析：要使函数有意义log132x－3≥02x－30，即02x－3≤1，∴32x≤2.答案：x|32x≤25．若loga231，则a的取值范围是__________．解析：loga231＝logaa若a1，则0a23矛盾；若0a1，则23a1.所以a的取值范围是(23，1)．答案：(23，1)要点点拨1．对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2．画对数函数图象的几个关键点共有三个关键点：(a,1)，(1,0)，(1a，－1)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．4．比较对数式的大小(1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；(2)当底数不同，真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象，数形结合解决；(3)当不同底、不同真数时，则可利用中间量进行比较.[例1]求下列各式的值：(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg23)2＋lg16＋lg0.06；(2)1－log632＋log62·log618log64.[思路点拨]对对数式作变形→运用法则化简→得结果热点题型一对数式的运算[解](1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(2)原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.[规律总结]1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．2．ab＝N⇔b＝logaN(a0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．变式训练1(1)化简lg37＋lg70－lg3－lg23－lg9＋1；[解](1)原式＝lg37×703－lg23－2lg3＋1＝lg10－lg3－12＝1－|lg3－1|＝lg3.[例2](1)若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是()A．(1a，b)B．(10a,1－b)C．(10a，b＋1)D．(a2,2b)热点题型二对数函数的图象及应用(2)(2013·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为()[解析](1)当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上．(2)由1－x0，知x1，排除选项A、B；设t＝1－x(x1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数．[答案](1)D(2)C[规律总结](1)对于“给式选图”题一般是通过解析式研究函数的性质(例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性)，对函数图象上的特征进行选择．(2)函数y＝logax与y＝log1ax(a0，且a≠1)的图象关于x轴对称．变式训练2(1)(2013·杭州月考)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2x3x1B．x1x3x2C．x1x2x3D．x3x2x1(2)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()[解析](1)分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x2x3x1.(2)f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数图象经过点(1,0)，而不是(1,1)，故排除A；函数g(x)＝21－x＝2×(12)x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B项中单调递减的函数图象与y轴的交点坐标为(0,1)，故排除B；D项中两个函数都是单调递增的，故也排除．综上所述，排除A、B、D.选C.[答案](1)A(2)C[例3]已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，a≠1)，(1)若f(x)2，求实数x的取值范围；(2)若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．热点题型三对数函数的性质及应用[思路点拨](1)利用对数函数的单调性，化为代数不等式，但应注意对参数的讨论；(2)f(x)1恒成立，转化为求f(x)的最小值，建立关于a的不等式可解．[解](1)若a1时，f(x)2，得08－axa2，∴8a－ax8a，若0a1时，可知8－axa2，∴x8a－a，因此a1时，x的取值范围是8a－ax8a；当0a1时，x的取值范围是x8a－a.(2)当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)1，解之得1a83.若0a1时，f(x)在x∈[1,2]上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)1，且8－2a0，∴a4，且a4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是(1，83)．[规律总结]1.(1)函数f(x)为复合函数，要充分利用对数函数的性质，实施等价转化，在求解中易忽略真数大于0，如第(2)中，8－2a0等，导致解答不完整．(2)参数a影响函数的单调性，要注意分类讨论，完成函数与不等式之间的转化．2．指数函数、对数函数中绝大部分问题是指数函数、对数函数与其他函数的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径．变式训练3已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[解](1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋30得－1x3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有a≥0，3a－1a＝1，解得a＝12.故存在实数a＝12使f(x)的最小值等于0.命题透视通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，命题形式主要以选择题和填空题的形式出现．主要考查对数运算和对数函数的图象和性质，对数函数的复合函数是考查的难点．[例题](2012·山东)设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件创新探究——函数单调性的应用[思路点拨]本题考查函数单调性与充分必要条件的判断，考查考生的推理能力及对基本常见函数单调性的掌握情况是命题立意所在，难度较小．[解析]由指数函数的性质易知，函数f(x)＝ax为R上的单调递减函数，则有0a1，而g(x)＝(2－a)x3若在R上为增函数，只需2－a0，即a2即可，因此“函数f(x)＝ax为R上的单调递减函数”是“g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数”的充分但不必要条件．[答案]A【阅卷人点评】要正确判断“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”以及“不充分且不必要条件”，需要做到：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件．要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性.考题体验1．(2012·大纲)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx解析：∵y＝log52＝1log25，z＝e－12＝1e，且1e2log25，∴yz1，又lnπ1，∴yzx，故选D.比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解．答案：D2．(2011·北京)如果log12xlog12y0，那么()A．yx1B．xy1C．1xyD．1yx解析：根据对数函数