高二数学课件-空间角的计算-2

空间“角”问题空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与的关系？CDAB思考：,与的关系？DCAB结论：|cos,|ab||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabbxzy②向量法质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ADCBD1C1B1A1E1F1①几何法1115cosDF,BE17=11B15cosDF,E17=-已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？例1、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为求AC1和CB1的夹角，2aABCA1B1C1分析：求异面直线的夹角解法步骤：1、写出异面直线的方向向量的坐标。2、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。131(,,2)22ACaaa131(,,2)22CBaaa21111211312cos,32||||aACCBACCBaACCB∴AC1和CB1的夹角为：3xyZD所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010练习：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB二、线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角[0°,90°]异面直线所成的角（0°,90°]最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1OnABABncosAB,n=|AB||n|线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.二、线面角向量法：范围：[0,]2线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角.,ABnABnsinα=cosAB,n|AB||n||ABn|sinα=|AB||n|例2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为1）求AC1和CB1的夹角，2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值ABCA1B1C12）直线与平面所成的角步骤：1、求出平面的法向量2、求出直线的方向向量3、求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角131(,,2)22ACaaa21121312cos,2||||3aACnACnACna设平面ABB1B的法向量：(1,,)nyz2a1(0,0,2)AAa(0,,0)ABa100(1,,)(0,0,2)00(1,,)(0,,0)00nAAzyzayyzanAB(1,0,0)n所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为12练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，解：设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC正弦值OBAAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_______.2练习ll三、面面角：二面角的范围：[0,]①向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得1DADCDD、、1(200)(020)(001)(222)(110)ACMBO，，，，，，，，，，，，，，。1(201)(021)(112)MAMCBO所以，，，，，，，，1120200220BOMABOMC，11BOMABOMC所以，11BOMABOMCMAMCC即，。又1BOMAC所以平面例4.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.1111DCBAABCD1DDOB11BMACB1A1C1D1DCBAOMxyz②1BOMAC由知平面①B1A1C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(200)(001)(222)AMB由，，，，，，，，得1()BMAnxyz设平面的一个法向量为，，1(201)(221)MAMB，，，，，10020021-2220nMAnMBxzzxyxyz所以，即取=得=，=1(122)BMAn所以平面的一个法向量为，，1(112)BO且，，11246cos669BOn，166BMAC所以二面角的余弦值为。由图可知二面角为锐角小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA3.二面角：ll1n1n2n2n一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。cos12cos,nncos12cos,nn练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2,1,1(n36612,cossinnOSnOSnOS（2）设面SAB的法向量),,(zyxnSAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA⑶,cos.510252⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）1n又∵OC⊥面AOS，OC∴是面AOS的法向量，令)0,1,0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nnOABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为5102.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由例2知面A1B1C的法向量为=（0，4，3）1n下面我们来求面A1C1C的法向量2n设=（x，y，z），2n由于=（3，3，0）,11CA0012112CCnCAn于是04033zyx0zyx令y=－1，则x=1，2n∴=（1，－1，0）212121,cosnnnnnn于是522254又∵所求二面角为的补角，21,nn故二面角B1―A1C―C1的余弦值为522B1BA1D1C1CDEA练习：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4，点E是CC1的中点。求:二面角B1―A1C―C1的大小。=（0，0，4）1CCABCDEMN(本小题满分14分)如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，(Ⅰ)求证：DM⊥EB；(Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.EDCBAMzyxa2解:分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，)……4分DM⊥EB，即DM⊥EB……7分(Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB，n⊥DM得DM·EB=a(－2a)+a·2a+0=0(Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)，EB=(－2a，2a，0)，…5分取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，又平面BDA的法向量为n1=(1，0，0)，2222221+0+0==1+2+21+0+01.3cosn，n1即二面角M-BD-A的余弦值为…14分13…11分EDCBAMzyxnDB=2ay2az=03nDM=ax+ayaz=02…10分y=z3x+yz=02此题用“坐标法”解简单易行！例、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为1）求AC1和CB1的夹角，2）求AC1和面ABB1B所成的夹角3）求二面角B—AB1—C1的大小4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离5）求AM与B1C1的距离2aABCA1B1C1分析：1）求异面直线的夹角解法步骤：1、写出异面直线的方向向量的坐标。2、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。131(,,2)22ACaaa131(,,2)22CBaaa21111211312cos,32||||aACCBACCBaACCB∴AC1和CB1的夹角为：1arccos23例、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为1）求AC1和CB1的夹角，2）求AC1和面ABB1B所成的夹角3）求二面角B—AB1—C1的大小4）M是A1B1的中点