高考真题-计数原理-(理科)

J计数原理J1基本计数原理10．J1、J2[2012·安徽卷]6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或410．D[解析]本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.6．J1、J2[2012·北京卷]从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．66．B[解析]本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7．K2、J1[2012·广东卷]从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.49B.13C.29D.197．D[解析]本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：C15×C15＝25；另一类x为偶数，y为奇数共有：C14×C15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝545＝19.6．J1、J2[2012·浙江卷]若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种6．D[解析]本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评]对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J2排列、组合11．J2[2012·山东卷]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．48411．C[解析]本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C316－4C34－C24C112＝560－88＝472.法二：有红色卡片的取法有C14C23C14C14＋C14C13C24，不含红色卡片的取法有C14C14C14＋C13C24C18，总共不同取法有C14C23C14C14＋C14C13C24＋C14C14C14＋C13C24C18＝472.8．J2[2012·陕西卷]两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种8．C[解析]本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.5．J2[2012·辽宁卷]一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!5．C[解析]本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.2．J2[2012·课标全国卷]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种2．A[解析]分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C12C24＝12种．故选A.11．J2[2012·全国卷]将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种11．A[解析]本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A33＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有2A33＝12种不同的排法，故选A.6．J1、J2[2012·北京卷]从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．66．B[解析]本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.10．J1、J2[2012·安徽卷]6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或410．D[解析]本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.11．J2[2012·四川卷]方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条11．B[解析]由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；以上共计14条不同的抛物线；②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A35＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有4A23＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，以上两种情况合计14＋48＝62(条)．6．J1、J2[2012·浙江卷]若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种6．D[解析]本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评]对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J3二项式定理1．J3[2012·四川卷](1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42B．35C．28D．211．D[解析]根据二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cr7xr，取r＝2得x2的系数为C27＝7×62＝21.5．J3[2012·上海卷]在x－2x6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160[解析]考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得Tr＋1＝Cr6x6－r－2xr＝(－2)rCr6x6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)3C36＝－160.12．J3[2012·陕西卷](a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．12．1[解析]本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其展开式的通项公式为：Tr＋1＝Cr5a5－rxr，令r＝2，所以x2的系数为C25a3，即有C25a3＝10，a＝1，故填1.13．J3[2012·湖南卷]2x－1x6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)13．－160[解析]由二项式的通项公式得Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝(－1)r26－rCr6x3－r，令3－r＝0，∴r＝3，所以常数项为T4＝(－1)326－3C36＝－160.5．J3[2012·湖北卷]设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．125．D[解析]512012＋a＝a＋(13×4－1)2012＝(1－13×14)2012＝a＋1－C1201213×4＋C22012(13×4)2＋…＋C20122012(13×4)2012，显然当a＋1＝13k，k∈Z，即a＝－1＋13k，k∈Z时，512012＋a＝13×4[－C12012＋C22012(13×4)1＋…＋C20122012(13×4)2011]，能被13整除．因为a∈Z，且0≤a13,所以a＝12.故选D.10．J3[2012·广东卷]x2＋1x6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)10．20[解析]本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，Tr＋1＝Cr6x2(6－r)1xr＝Cr6x2(6－r)x－r＝Cr6x12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，所以x3的系数为：C36＝20.11．J3[2012·福建卷](a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.11．2[解析]本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是Tr＋1＝Cr4a4－rxr,x3的系数为8，即令r＝3，所以C34a1＝8，所以4a＝8，所以a＝2.15．J3[2012·全国卷]若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．15．56[解析]本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n，再结合通项公式即可．由题有C2n＝C6n，∴n＝8，Tr＋1＝Cr8x8－r1xr＝Cr81x2r－8，令2r－8＝2⇒r＝5