30巩固练习-基本不等式-提高

基本不等式【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是()A．当x0且x≠1时，1lg2lgxxB．当x0时，12xxC．当x≥2时，1xx的最小值为2D．当0x≤2时，1xx无最大值2.若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为()①ab≤1；②2ab；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤112ab.A．1B．2C．3D．43.若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋434．若-4x1，则22222xxx有（）A．最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-15.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为230400010xyx，则每吨的成本最低时的年产量为()A．240B．200C．180D.1606．已知x，y满足约束条件03201yxyx，当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值52时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C．5D．2填空题7．已知x，y∈R＋，且满足134xy，则xy的最大值为________．8.（2016河北区二模）设x，y是正实数，且x+y=1，则2221xyxy的最小值是________．9.已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．10.若对任意x＞0，231xaxx恒成立，则a的取值范围是________．11.有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．二、解答题12.若1x，则x为何值时11xx有最小值，最小值为几？13.已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：1119abc.14.若a＞0，b＞0，且a1+b1＝ab．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．15.（2016衡阳二模）已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2。（1）求14ab的最小值；（2）若对,(0,)ab，14|21||1|xxab恒成立，求实数x的取值范围。16.某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．【答案与解析】1．【答案】B【解析】A中，当x0且x≠1时，lgx的正负不确定，∴1lg2lgxx或1lg2lgxx；C中，当x≥2时，min152xx；D中，当0x≤2时，1yxx在(0,2]上递增，max132xx.故选B.2.【答案】C【解析】因212abab，所以①正确；因()22224ababababab，所以2ab，故②不正确；因22222abab，所以③正确；因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；因1122abababab，所以⑤正确．故正确的命题为①③⑤.3．【答案】D【解析】由abogba2443log，得3a＋4b＝ab，则134ba，所以347342734734baabbaabbababa，当baab34，即323,324ba时等号成立。4．【答案】D【解析】.1221]11)1[(21)1(21)1(222222xxxxxxx5.【答案】B【解析】依题意得每吨的成本是40003010yxxx，则40002301010yxxx，当且仅当400010xx，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.6．【答案】B【解析】由约束条件03201yxyx作可行域如图，联立03201yxyx＝，解得：A(2，1)．化目标函数为直线方程得：0bbaxbay＝．由图可知，当直线bzxbay＝过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴522＝ba，即0522＝ba．则a2＋b2的最小值为45522＝．故选：B．7．【答案】3【解析】由134xy为定值知23412123342xyxyxy.∴当且仅当34xy时xy有最大值3.8．【答案】14【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，2222(2)(1)41(4)(2)214141()()6()2xyststxyststststst。因为41141149()()(4)444tsstststst所以221214xyxy。故答案为14。9.【答案】116【解析】21141444216xyxyxy，当且仅当142xy时取等号．10.答案:15a【解析】211313xaxxxx又12xx∴11153xx∴15a11.【答案】2500m2【解析】设所围场地的长为x，则宽为2004x，其中0x200，场地的面积为2220012002500m442xxxx，当且仅当x＝100时等号成立．12.【解析】∵1x,∴10x,∴111121111xxxx当且仅当111xx即0x时，原式有最小值1.13.【解析】证明：∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，∴11abcbcaaaa，11abcacbbbb，11abcabcccc.∴1111113bcacabbacbacabcaabbccabbcca3222bacbacabbcca＝3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴1119abc.14.【解析】(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且a1+b1＝ab，∴ab＝a1+b1≥2ab1，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号．∵a3+b3≥23)(ab≥232＝42，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴a3+b3的最小值为42．(Ⅱ)由(1)可知，2a+3b≥2ba3·2＝2ab6≥43＞6，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．15.【解析】（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，∴1414525259()222222222abbabaabababab，∴min149()2ab，此时24,33ab。（2）∵14|21||1|xxab对,(0,)ab恒成立，∴19|21||1|922112xxxxx或11292112xxx或1292112xxx512x或112x或11322x，51322x，∴513[,]22x。16.【解析】(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝(6x2－6x)(元)．(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为21600(66600)1.54006594yxxxxx.∴60026594714yxx，当且仅当6006xx，即x＝10时，取等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，为714元．