双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为)20(22121FFaaMFMFM.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212FFa时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当02a时，点的轨迹是线段21FF的垂直平分线.（3）212FFa时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“aFF221”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a，2b的值），注意222cba的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.表10-2标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形焦点坐标)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标)0,(1aA，)0,(2aA),0(1aA，),0(2aA范围axay实轴、虚轴实轴长为a2，虚轴长为b2A2B1F1xyA1F2B2xbayxbayF1A1yxB1B2F2A2xabyxaby离心率)1(122eabace渐近线方程令xabybyax02222，焦点到渐近线的距离为b令xbaybxay02222，焦点到渐近线的距离为b点和双曲线的位置关系在双曲线外点在双曲线上点（含焦点部分）在双曲线内点),(,1),(,1),(,10000002222yxyxyxbyax在双曲线外点在双曲线上点（含焦点部分）在双曲线内点),(,1),(,1),(,10000002222yxyxyxbxay共焦点的双曲线方程)(1222222bkakbykax)(1222222bkakbxkay共渐近线的双曲线方程)0(2222byax)0(2222bxay切线方程),(,1002020yxbyyaxx为切点),(,1002020yxbxxayy为切点切线方程对于双曲线上一点),(00yx所在的切线方程，只需将双曲线方程中2x换为xx0，2y换成yy0便得.切点弦所在直线方程),(,1002020yxbyyaxx为双曲线外一点),(,1002020yxbxxayy为双曲线外一点点),(00yx为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为),(11yxA，),(22yxB，kkAB.则弦长)0(111212212kyykxxkAB，axxxxxx21221214，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的“2x”系数.通径通径（过焦点且垂直于21FF的弦）是同支中的最短弦，其长为ab22焦点三角形双曲线上一点),(00yxP与两焦点21,FF构成的21FPF成为焦点三角形，设21PFF，11rPF，22rPF，则21221cosrrb，轴上焦点在轴上焦点在yxcxycbbrrSFPF,,2tancos1sinsin2100222121，焦点三角形中一般要用到的关系是21212221221212121cos2sin21)22(221PFFPFPFPFPFFFPFFPFPFScaaPFPFFPF等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线ba离心率2e两渐近线互相垂直渐近线方程为xy方程可设为)0(22yx.题型归纳及思路提示题型1双曲线的定义与标准方程思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a，b，c，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11设椭圆1C的离心率为135，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线2C上的点到椭圆1C的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C的标准方程为（）A.1342222yxB.15132222yxC.1432222yxD.112132222yx解析设1C的方程为)0(12222babyax，则135262aca，得513ca.r1r2F1yxF2P(x0,y0)O椭圆1C的焦点为)0,5(1F，)0,5(2F，因为218FF，且由双曲线的定义知曲线2C是以21,FF为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C的标准方程为1342222yx，故选A.变式1设命题甲：平面内有两个定点21,FF和一动点M，使得21MFMF为定值，命题乙：点M的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式2已知)0,2(M和)0,2(N是平面上的两个点，动点P满足2PNPM，求点的P轨迹方程.变式3已知)0,2(M，)0,2(N，动点P满足22PNPM，记动点的P轨迹为W，求W的方程.例10.12求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）经过点)2,5(，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622yx有公共焦点；（3）经过点)72,3(P，)7,26(.分析利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222babyax”，或“xbay”，求双曲线方程，即求参数a，b，为此需要找出并解关于a，b的两个方程.解析（1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x轴上，故可设双曲线方程为xbay，又双曲线过点)2,5(，所以142522ba，又因为6c，所以622ba，解得52a，12b，故所求双曲线方程为1522yx.解法二：由双曲线的定义aMFMF221，610356103526526522222a52530530.得5a，6c故1b，双曲线方程为1522yx.（2）解法一：由双曲线方程141622yx，得其焦点坐标为)0,52(1F，)0,52(2F，由题意，可设所求双曲线方程为xbay，由已知32a，52c，得8222acb，故所求双曲线方程为181222yx.解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622kkykx，由k16322.得4k，故所求曲线的方程为181222yx.（3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122mnnymx，因为所求双曲线经过点)72,3(P，)7,26(，所以149721289nmnm，解得251751nm，故所求双曲线方程为1752522xy.评注求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x轴上还是在y轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122mnnymx，求出即可nm,，这样可以简化运算.变式1根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)33,3(；（2）与双曲线141622yx有公共焦点；且过点)2,23(.变式2若动圆M与圆93:221yxC外切，且与圆13:222yxC内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程.例10.13已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(，)0,4(，则双曲线方程为（）A.112422yxB.141222yxC.161022yxD.110622yx解析由焦点为)0,4(，)0,4(，可知焦点在x轴上，故设方程为)0,0(12222babyax，且2ace，故2a.所以42a，162c，12222acb，故所求双曲线的方程为112422yx.故选A.变式1已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程为xy3，一个焦点在抛物线xy242的准线上，则双曲线的方程为（）A.11083622yxB.127922yxC.13610822yxD.192722yx变式2已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10，点)1,2(P在C的渐近线上，则C的方程为（）A.152022yxB.120522yxC.1208022yxD.1802022yx变式3已知点)4,3(P是双曲线)0,0(12222babyax渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若0FPEP，则双曲线的方程为（）A.14322yxB.13422yxC.116922yxD.191622yx题型2双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a，b的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b.例10.14双曲线14222yx的渐近线方程为（）A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21分析对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析双曲线的标准方程为12422xy，焦点在y轴上，且42a，22b，故渐近线方程为xbay，故所求渐近线方程为xy22，即xy2.故选A.评注应熟记，若双曲线的标准方程为12222byax，则焦点落在x轴上，渐近线方程为xaby；若双曲线的标准方程为12222bxay，则焦点落在y轴上，渐近线方程为xbay.本题也可以直接写出渐近线方程为04222yx，化简得xy2.变式1已知双曲线)0(1222bbyx的一条渐近线的方程为xy2，则b_________变式2设双曲线)0(19222ayax的渐近线方程为023yx，则a的值为（）A.4B.3C.2D.1变式3已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别为21,FF，其中一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在该双曲线上，则21PFPF等于（）A.-12B.-2C.0D.4例10.15双曲线191622yx的一个焦点到其渐近线的距离是_________.解析由题设可知其中一条渐近线方程为043yx，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322d.评注双曲线12222byax的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b.变式1双曲线13622yx的渐近线与圆)0(3222rryx相切，则r（）A.3B.2C.3D.6变式2已知双曲线)0,0(12222babyax的两条渐近线均和圆056:22xyxC相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A.14522yxB.15422yxC.16322yxD.13622yx例10.16过双曲线)0,0(12222babyax的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若AB21BC，作为双曲线的渐近线方程为_______.解析解法一：对于)0,(aA，则直线方程为0ayx，将该直线分别与两渐近线联立，解得baabbaaB,2，baabbaaC,2，则有BC2222222,2babababa，baabbaabAB,，因为AB21BC，则222bababaab，