第13讲-增量理论本构方程

第三章金属塑性变形的力学基础第四节本构方程第一讲增量理论本构方程弹性应力应变关系特点塑性应力应变关系特点增量理论本构方程在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即广义虎克定律GE2,一般应力状态，用广义虎克定律：zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxGvEGvEGvE21)];([121)];([121)];([1E——弹性模量；v——泊松比；G——切变模量（剪切模量）；)1(2vEG弹性应力应变关系弹性应力应变关系)](2[1zyxzyxzyxvEzxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxGvEGvEGvE21)];([121)];([121)];([1)21(33vEmmmmEv21)1(2vEG物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。弹性应力应变关系zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxGvEGvEGvE21)];([121)];([121)];([1)1(2vEG)](32)(31)([1zyxzyxzyxmxvvE)(1)(31133321mxzyxxzyxEvEvEv'21)()1(21xmxGvGv弹性应力应变关系zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG21;'21'21;'21'21;'21''21'ijijG广义虎克定律的张量形式mijijmijijijEvG21'21'mmEv21弹性应力应变关系zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG21;'21'21;'21'21;'21''21'ijijG广义虎克定律的其它形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21''''''Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx21弹性应力应变关系Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx21)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx)(2)()(2)()(2)(xzxzzyzyyxyxGGGzxzxyzyzxyxyGGG222)1(2vEG)(6)()()(22222222zxyzxyxzzyyxG)(6)()()(121222222zxyzxyxzzyyxvE弹性应力应变关系)(6)()()(22222222zxyzxyxzzyyxG)(6)()()(121222222zxyzxyxzzyyxvE)(6)()()()1(21222222zxyzxyxzzyyxiviEi——弹性应变强度令弹性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合;变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系;弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比v0.5;塑性应力应变关系弹性变形——σ-ε对应，如σc永远对应εc塑性变形理想——σs对应任何应变硬化σs→σe(加载）→εeσf→σe(卸载）→εf'塑性应力应变关系相同的应力状态（2、4、5），对应不同的应变状态；相同的应变状态（1、2及3、4）对应不同的应力状态。塑性应力应变关系1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合；2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关系；3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5；4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。弹性应力应变关系塑性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关系弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比v0.5塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高应力应变关系增量理论增量理论是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。应力应变关系增量理论1870年，圣维南(B.SaintVonant)提出应力主轴与应变增量主轴重合，而不与全量应变主轴重合。——应力~应变速率方程1871年，列维(M.Levy)提出应力~应变增量关系。1913年，米塞斯(Mises)提出与列维相同的方程——进入应用阶段。——Levy-Mises方程1924年，普朗特(L.Prandtl)提出平面变形问题的弹塑性增量方程，劳斯(A.Reuss)推广至一般状态。——Prandtl~Reuss方程应力应变关系增量理论1、Levy-Mises理论（Levy-Mises方程）1)材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量。2)材料符合Mises屈服准则，即s3)每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。4)塑性变形时体积不变，即0321ddddddzyx在上述假设基础上，假设应变增量与应力偏量成正比，得Levy-Mises方程dλ——瞬时非负比例系数，加载时dλ0，卸载时dλ=0ddijij'应力应变关系增量理论Levy-Mises方程的其它形式dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx'''dddddddxzxzzyzyyxyxddijij'应力应变关系增量理论222222222)()()()()()(dddddddddxzxzzyzyyxyx2222222)(6)(6ddddzxyzxyzxyzxydddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx'''dddddddxzxzzyzyyxyx2222222222222)](6)()()[()(6)()()(ddddddddddzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyx应力应变关系增量理论2222222222222)](6)()()[()(6)()()(ddddddddddzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyx2132d222229dddd23应力应变关系增量理论dd23ddijij')](21[)2(21)(23'zyxxzyxxmxxijijdddddddd应力应变关系增量理论1)Levy-Mises方程仅适用于理想塑性材料，只给出应变增量与应力偏量之间的关系；2)由dεij只能求出σ‘ij,而不能求出σij3)由σij只能求出dεij的比,而不能求出dεijzxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxdddddddddddd232323)](21[)](21[)](21[证明以前提到的结论1)平面变形：设dεz=0,按体积不变条件dεx+dεy=00)2(3)](32[)()''(zyxzyxyxmymxyxyxdddddd)(21yxz2)均匀轴对称：dd''应力应变关系增量理论2、应力-应变速率方程（Saint-Venant塑性流动方程）ddddijij23'同除以dt'ijijdtddtdijijdtd——应变速率张量23dtd——等效应变速率（应变速率强度）'ijij——Saint-Venant塑性流动方程zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx232323)](21[)](21[)](21[应力应变关系增量理论3、Prandtl-Reuss理论（Prandtl-Reuss方程）在Levy-Mises理论的基础上，考虑弹性变形部分。pijeijijddd'23'ijpijpijdddmijijeijdEvdGd21'21121)-(321'21mijijijEvGPrandtl-Reuss方程ddEvdGdddijmijijpijeijij'21'21mmijijijdEddGdd21'21''可写成：应力应变关系增量理论总结：1)Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形，而Levy-Mises理论不考虑弹性变形，实质上后者是前者的特殊情况。由此看来，Levy-Mises理论仅适用于大应变，无法求弹性回跳及残余应力场问题，Prandtl-Reuss理论主要用于小应变及求解弹性回跳及残余应力问题。2)Prandtl-Reuss理论和Levy-Mises理论都着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。即ddijpij'3)整个变形过程可由各瞬时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂加载情况。4)上述理论仅适用于加载情况(即变形功大于零的情况)，并没有给出卸载规律，卸载情况下仍按虎克定律进行。应力应变关系增量理论例：已知用Mises准则求时屈服，并求应变增量比。2sz?zzz解：0z1）代入Mises准则zz,222226)()()(szzz222226440szss2sz2）dddddddzzzzzz'''szm61)(312,3',6''szszs0:0:3:2:)1(:)1(0:0:21:31:)61(:)61(':':':':':':::::zzzzzzdddddd小结应力、应变关系的特点增量理论本构方程