二次函数中考专题训练(带答案)二

1二次函数15、()如图，抛物线343832xxy交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．解：（1）令y=0，即=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．（2）S△ACB=AB•OC=9，在Rt△AOC中，AC===5，设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，∴CE==．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．[来源:学.科.网]直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣．则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，）综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．姓名:教案2连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．又FE=5，则在Rt△MEF中，ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×=，FN=MN•cos∠MFE=3×=，则ON=，∴M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3．同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．316、()如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3…（1分）∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．∴解得：，∴抛物线的解析式为．…（4分）（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）．…（6分）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．4解得，（舍去）．∴P1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．…（9分）②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．…（13分）517、()如图，抛物线923212xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．解答：解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；∴AB=9，OC=9．（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：=，即：=∴EF=；∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=．618、()在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=2时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．解：（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．②设Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=∴Q（，），∴OQ=．当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；当OQ=CQ时，则C3（0，1）．（2）①∵P（m，m2），设Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴7∴，得n=，∴Q（，）．②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：解得b=1，∴M（0，1）∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可证：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形．19、()抛物线214yxxm的顶点在直线3yx上，过点F(2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．[来源:&中%国教育出^版~网@]（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；[来&%:（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝1009，求点M的坐标．[来~^源#:中国教育出版网&%]（1）2211(2)(1)44yxxmxm∴顶点坐标为(－2,1m)源:@~&中#教网^]∵顶点在直线3yx上，[来源:zzs*tep.co~#^m@]∴－2+3=1m，得m=2源:@~z&zste#p.com]（2）∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为2124aa#中^&教*网]即点N(a,2124aa)过点F作FC⊥NB于点C，在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=214aa,∴2NF＝22NCFC＝82221()(2)4aaa=2221()(4)44aaaa而2NB=221(2)4aa＝2221()(4)44aaaa∴2NF＝2NB，NF=NB（3）连结AF、BF由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,[中~国%&教*育出^版网]∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°[来^*源:中教@%网&]∴∠FBA=∠MAF=∠MFA又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴PFPBPAPF，2PFPAPB=1009分过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中，PG=22PFFG=83，∴PO=PG+GO=143，∴P(－143,0)设直线PF：ykxb，把点F（－2,2）、点P(－143,0)代入ykxb解得k=34，b=72，∴直线PF：3742yx解方程21372442xxx，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）当x=－3时，y=54，∴M（－3,54）920、()如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线22yaxxc分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．（1）求点C、D的纵坐标．（2）求a、c的值．（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．。m，dmm；PQQxy，QPxxxy，Pxxycaca，caca，cxaxy，D，C，Dy，xyDD，Cy，xyCC的增大而减小随时或当或线段点纵坐标为又解得令点纵坐标为解得上在和的坐标为点上在且点横坐标为点点坐标为上在且点点横坐标为解1684043623625,5555,628,62851028151028110,8131081481610322562441016244,441016,10421624221612221021、()如图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），∴﹣9+2×3+m=0，解得：m=3；（2）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得：x=3或x=﹣1，∴B（﹣1，0）；（3）过点D作DE⊥AB，∵当x=0时，y=3，∴C（3，0），若S△ABD=S△ABC，∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），则可得OC=DE=3，∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=0或x=2，∴点D的坐标为（2，3）．1122、()如图，平面直角坐标系中，抛物线32212xxy交y轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作□OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m．（1）点Q落在x轴上时m的值．（3分）（3）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．（4分）解：（1）抛物线32212xxy与y轴交于点A，∴点A的坐标为(03)，．∴OA=3．∵四边形OAPQ为平行四边形，∴QP=OA=3．∴当点Q落在x轴上时，212332mm．解得1204mm，．当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．∴m=4．（2）解法一：∵点P的横坐标为m，∴21=232BPmm．∴=QBQPBP2213(23)2122mmmm21(2)22m．∵