3.2-奇偶性习题及其答案

11.3.2奇偶性一、选择题。1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(B)A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数解析：选B.f(－x)＝－x3为奇函数，x1＜x2，－x1＞－x2.f(－x1)－f(－x2)＝－x31－(－x32)＝x32－x31＞0，∴f(－x1)＞f(－x2)，f(－x)为减函数．2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得(C)A．abB．abC．|a||b|D．0≤ab或ab≥0解析：选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则f(|x|)＝f(x)；若x0，则f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)f(b)，可得f(|a|)f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在[0，＋∞)上是增函数可得|a||b|，故选C.3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是(D)A．y＝x(x－2)B．y＝x(|x|＋2)C．y＝|x|(x－2)D．y＝x(|x|－2)解析：选D.由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．∴f(x)＝xx－x，x－x－x＜，即f(x)＝x(|x|－2)．4．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于(D)A．－2B．－4C．－6D．－10解析：选D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，显然F(x)＝ax3＋bx为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10.5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－32)与f(a2＋2a＋52)的大小关系是(C)A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52)B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52)C．f(－32)≥f(a2＋2a＋52)D．f(－32)≤f(a2＋2a＋52)解析：选C.a2＋2a＋52＝(a＋1)2＋32≥32，f(－32)＝f(32)≥f(a2＋2a＋52)．6．若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有(C)A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3解析：选C.ρ(x)、g(x)都是奇函数，∴f(x)－2＝aρ(x)＋bg(x)为奇函数．又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.7．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则(D)A．f(3)＋f(4)＞0B．f(－3)－f(－2)＜0C．f(－2)＋f(－5)＜5D．f(4)－f(－1)＞0解析：选D.f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有：－4＜－1⇒f(－4)＞f(－1)⇒f(4)－f(－1)＞0.8．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝(D)A．x2－|x|＋1B．－x2＋|x|＋1C．－x2－|x|－1D．－x2－|x|＋1解析：选D.设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2＋|x|－1，∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10，则(A)日期:_______2A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)新课标第一网D．f(3)f(1)f(－2)解析：选A.由已知fx2－fx1x2－x10，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)f(－2)f(1)，故选A.二、填空题。10．函数f(x)＝x3＋ax，f(1)＝3，则f(－1)＝－3.解析：显然f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.Xkb1.co11．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是0，＋∞．解析：利用函数f(x)是偶函数，则k－1＝0，k＝1，f(x)＝－x2＋3即可得出单调区间．12．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是{x|0＜x＜2}．解析：偶函数的图象关于y轴对称，先作出f(x)的图象，如图所示，由图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．xkb1.com13．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)＞0，则a＋b＜0(填“＞”、“＜”或“＝”)．解析：f(a)＋f(b)＞0，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＞f(－b)，f(x)为减函数，∴a＜－b，∴a＋b＜0.三、解答题。14．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数．∴f(0)＝0，即b1＋02＝0，∴b＝0，又f(12)＝12a1＋14＝25，∴a＝1，∴f(x)＝x1＋x2.15．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝2(a＋14)2＋78＞0，2a2－2a＋3＝2(a－12)2＋52＞0，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞23.16．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝1x－1，求f(x)，g(x)．解：由f(x)＋g(x)＝1x－1.①把x换成－x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∴f(x)－g(x)＝－1x＋1.②由①②得f(x)＝1x2－1，g(x)＝xx2－1.