构造等腰三角形的常用方法

构造等腰三角形的常用方法几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来，使隐蔽的条件显现，将复杂的问题简单化，在解题的过程中有时需要构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解.本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法.方法一作“平行线”来构造等腰三角形1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于点F，且DF=EF.求证：BD=CE.证明：过点D作DG∥AE，交BC于G点，则∠GDF=∠E.∵∠GDF=∠CEF，∠DFG=∠EFC，DF=EF,∴△DGF≌△ECF（ASA），∴GD=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∴∠DBG=∠DGB，∴GD=BD,∴BD=CE.2.已知△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE.（1）如图①，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图②，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否还成立，请说明理由.解：（1）AD=CE.理由如下：过点D作DP∥BC，交AB于点P.∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°，∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB=∠DBC.∴∠PDB=∠DEC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°，∠DCE=∠A+∠ABC=120°，∴∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中，∠BPD=∠DCE，∠PDB=∠CED，DB=DE,∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD=CE，∴AD=CE;（2）（1）中的结论成立.理由如下：过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P.∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，∵DB=DE,∴∠DBC=∠CED.∵DP∥BC，∴∠PDB=∠DBC，∴∠PDB=∠CED.在△BPD和△DCE中，∠P=∠DCE，∠PDB=∠CED，DB=DE,∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD=CE,∴AD=CE.方法二利用“三线合一”构造等腰三角形3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P,连接CP.若BC=4，点P到BC的距离为1，求△ABC的面积.解：延长AP交BC于点E.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP.∵AP⊥BP，∴∠APB=∠BPE.在△APB和△EPB中，∠ABP=∠EBP，BP=BP,∠BPA=∠BPE，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△ABP=S△BPE，AP=PE.∵△APC与△PCE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴S△ABC=S△ABP+S△BPE+S△APC+S△PCE=2S△BPC，∵BC=4，点P到BC的距离为1，∴S△BPC=1/2×4×1=2，∴S△ABC=2×2=4.4.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.证明：延长BA,CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC=∠BEM=90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴△MBE≌△CBE（ASA），∴EM=EC=1/2MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠MAC=90°，AB=AC,∴∠ABD+∠BDA=90°.∵∠BEC=90°，∴∠ACM+∠CDE=90°.∵∠BDA=∠CDE，∴∠ABD=∠ACM.在△ABD和△ACM中，∠ABD=∠ACM，AB=AC,∠BAD=∠CAM，∴△ABD≌△ACM（ASA），∴DB=MC，∴BD=2CE.方法三利用“倍角关系”构造等腰三角形5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：AB+BD=AC.证明：在边AC上截取AP=AB，连接PD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠PAD.在△ABD和△APD中，AB=AP，∠BAD=∠PAD，AD=AD,∴△ABD≌△APD（SAS）.∴∠APD=∠B，PD=BD.∵∠B=2∠C，∴∠APD=2∠C.又∵∠APD=∠C+∠PDC，∴∠PDC=∠C，∴PD=PC,∴AB+BD=AP+PC=AC.方法四利用“截长补短法”构造等腰三角形6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC,求∠C的度数.方法一：截长法如图，在CD上截取点E，使DE=BD，连接AE.∵AD⊥BE，DE=BD，∴AB=AE.∵AB+BD=DC,∴AE+DE=DC.又∵DE+CE=DC,∴CE=AE=AB.∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.∵∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+3∠C=180°，∠BAC=120°，∴∠C=20°；方法二：补短法如图，延长DB至点F，使得BF=AB，则AB+BD=BF+BD=DF=CD,∴AF=AC,∠C=∠F=1/2∠ABC.∵∠BAC+∠ABC+∠C=∠BAC+3∠C=180°，∠BAC=120°，∴∠C=20°.7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°.求证：BD+DC=AB.证明：延长BD至点E，使得BE=AB，连接AE,CE.∵∠ABE=60°，BE=AB,∴△ABE为等边三角形，∴∠AEB=60°，AE=AB.又∵∠ACD=60°，∴∠ACD=∠ABE.∵AB=AC,AB=AE,∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC，∴∠DCE=∠DEC，∴DC=DE,∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,即BD+DC=AB.