研究生数理统计第三章习题答案

习题三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量24.55,0.108XN.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化0.05？解由题意知，24.55,0.108XN，5n，5114.3645iixx，0.05，5220110.095265iisx.1)当00.108已知时，①设统计假设0010:4.55,:4.55HH.②当0.05时，0.975121.96uu，临界值120.1081.960.09475cun，拒绝域为000{}{0.0947}Kxcx.③004.3644.550.186xK，所以拒绝0H，接受1H，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当04.55已知时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108HH.②当0.05时，临界值222210.02520.975122111150.1662,52.566655cncnnn，拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssKcc或或.③202200.095268.16700.108sK，所以拒绝0H，接受1H，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h.现抽取25件，得其均值950xh.已知该种元件寿命2,100XN，问这批元件是否合格0.05？解由题意知，2,100XN，25n，950x，0.05，0100.①设统计假设0010:1000,:1000HH.②当0.05时，0.051.65uu，临界值1001.653325cun，拒绝域为000{}{33}Kxcx.③00950100050xK，所以拒绝0H，接受1H，即认为这批元件不合格.3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g），假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常0.05？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.50.05？解设X表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g）.由题意知2500,XN，方差2未知.9n，911500.88899iixx，0.05，222111133.6111118nniiiisxxxxn，52201130.66679iisx1)①设统计假设0010:500,:500HH.②0.97512182.306tnt，临界值125.797512.3064.45649sctnn，拒绝域为000{}{4.4564}Kxcx.③00500.88895000.8889xK，所以接受0H，拒绝1H，即认为机器工作正常.2)当0500已知时，①设统计假设2222220010:5.5,:5.5HH.②当0.05时，临界值222210.02520.975122111190.3,92.113399cncnnn，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssKcc或或.③2022030.66671.013785.5sK，所以接受0H，拒绝1H，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399元/500克，标准差为0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年0.05？解由题意知，23.25,XN，20n，3.399x，0.05，0.269s.①设统计假设0010:3.25,:3.25HH.②当0.05时，10.951191.729tnt，临界值10.26911.7290.106719sctnn，拒绝域为000{}{0.1067}Kxcx③003.3993.250.149xK，所以拒绝0H，接受1H，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度2,0.048XN，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2是否明显变大了0.05？解由题意知2,0.048XN，8n，8111.421258iixx，0.05，22211110.0122118nniiiisxxxxn.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048HH.②当0.05时，临界值2210.9511172.0117cnn，拒绝域为2202200{}{2.01}ssKc.③202200.012215.29950.048sK，所以拒绝0H，接受1H，即这天生产的维尼纶纤度的方差2明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h.现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h，标准差148sh.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平0.05下，确定这批元件是否合格.解设X表示这批元件的寿命，由题意知22000,130XN，25n，1950x，0.05，148s.1)①设统计假设0010:2000,:2000HH.②当0.05时，0.051241.711tnt，临界值14811.71150.645625sctnn，拒绝域为000{}{50.6456}Kxcx.③001950200050xK，所以接受0H，拒绝1H，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h.2)①设统计假设2222220010:130,:130HH.②当0.05时，临界值2210.95111241.5175124cnn，拒绝域为2202200{}{1.5175}ssKc.③2202201481.2961130sK，所以接受0H，拒绝1H，即认为这批元件标准差不超过130h.所以这批元件合格.7.设12,,,nXXX为来自总体,4XN的样本，已知对统计假设0:1;H1:2.5H的拒绝域为02KX.1)当9n时，求犯两类错误的概率与；2)证明：当n时，0,0.解1),4XN，01:1,:2.5,HH02KX，9n.12121991.522XPXP11.50.0668，2.522.522.5990.7522XPXP0.7510.750.2266.2),4XN，01:1,:2.5,HH02KX.1212110,2222XnnPXPnnn，2.522.522.510,2244XnnPXPnnn8.设需要对某一正态总体,4XN的均值进行假设检验01:15;:15HH取检验水平0.05，试写出检验0H的统计量和拒绝域.若要求当1H中的13时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05，估计所需的样本容量n.解01~(,4),:15;:15XNHH.拒绝域为015KXc，统计量为23.301.65cunnn.3.3023.30151313nPXPXnn13131.6511.650.0522XXPnnPnn，20.95(1.65)0.95,1.651.65,3.30,3.311nnunn.所需的样本容量11n.9.设12,,,nXXX来自总体20,XN的样本，20为已知，对假设00:H，11:H，其中01，试证明22011210nuu.解由题意知20,XN，且20为已知，故01cun，拒绝域为0001Kxun.01 XP(+c=)1011100()?XPnun1010()un，所以1011uun，22101120nuu，即22011210nuu.10.设1217,,,XXX为来自总体20,XN样本，对假设2201:9,:3.319HH的拒绝域204Ks.求犯第Ⅰ类错误的概率和犯第Ⅱ错误的.解由题意知20,XN，2202499sPWK，24117917c，查表得0.025；220243.3193.314sPWK，2141173.31417c，查表得0.25.11.设总体的密度函数为1,01,;0,.xxfx其他，统计假设0:=1H，1:=2H.现从总体中抽取样本12,XX，拒绝域02134KXX，求：犯两类错误的概率,.解当0:=1H成立时，1,01,;0,.xfx其他0213114PWKPXX1314321040.2510.250.75ln0.75xdxdx；当1:=2H成立时，2,01,;0,.xxfx其他0213224PWKPXX1314312210433994ln0.7544168xxxdxdx.12.设总体2,XN，根据假设检验的基本原理，对统计假设：20011101):,:HH已知；200102):,:HH未知，试分析其拒绝域.解1)因为2,XN，所以2,XNn，即0,1XNn，当2已知时，10XPuHn，即10uPXn，所以拒绝域为100uKXn.2)因为2,XN，所以2,XNn，即0,1XNn，当2未知时,用2S作为2的近似，则1XtnSn，01XPtnHSn，即01StnPXn，所以拒绝域为001stnKXn.13.设总体2,XN根据假设检验的基本原理，对统计假设：222200101):,:HH