不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点1.不等式的基本概念2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ababab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)(0*2Nnan（开方法则）3.几个重要不等式（1）非负式：0,0||,2aaRa则若；.0,0aa则若（2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号）（3）二元均值不等式：如果a,b都是正数，那么.2abab（当仅当a=b时取等号）常用为：2abab（当仅当a=b时取等号），2()2abab（当仅当a=b时取等号）极值定理：若,,,,xyRxySxyP则：○1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.不等式链：如果a,b都是正数，那么222.1122abababab（当仅当a=b时取等号）3,3abcabcRabc(4)三元均值不等式：若、、则（当仅当a=b=c时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当a=b时取等号）4.几个著名不等式（1）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.（3）绝对值三角不等式：||||||||||||,bababaRba则、若5.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式axb解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx（6）含一个绝对值不等式○1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值；○2应用分段函数，数形思想；○3应用几何意义，化归思想等价转化④公式法)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为（7）含两个或者两个以上绝对值的不等式○1应用零点分段讨论法，分类讨论思想去绝对值；○2应用分段函数，数形思想；○3应用几何意义，化归思想等价转化6.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.7.不等式与线性规划