多项式定理

•多项式定理•作者名二项式定理给出每个正整数n的的公式。它可以被推广到更一般的形式：t个实数的和的n次幂的公式。nyxntxxx...21多项式系数：!...!!!...2121ttnnnnnnnn其中，n1,n2,...,nt是非负整数且nnnnt...21由多重集的排列可知，上面的定义表示重数分别为n1,n2,...,nt的t种不同类型物体的多重集的排列个数。对于非负的n和k，具有值nkknkn,...,1,0!!!的二项式系数在上述记号中变成了knknkn并表示重数分别为k和n-k的两种不同类型物体多重集的排列个数。ttttiitiittiititititinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn...!...!!!!...!!)!1(又!...!!)!1(!...)!1(...!!!1则!...!!)!1(!...)!1(...!!!1212121112111212121证明：使用多项式系数记号表示对于n和k为正的二项式系数的Pascal公式为：knknknknknkn1111多项式系数的Pascal公式：1...1......11...11...21212121ttttnnnnnnnnnnnnnnnn其中，n1,n2,...,nt是非负整数且nnnnt...21在讨论一般性的定理之前，首先考察一下t个实数的和的n次幂与其展开式的关系。令t=3,n=3，展开式如下：ntxxx...21上式中出现的项都是形如的项，其中是非负整数，且在该表达式中的系数等于32123121322231113212211122133323133216333333xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx332121nnnxxx321,,nnn3321nnn332121nnnxxx!!!!33321321nnnnnn定理：令n为一正整数。对所有的x1,x2,...,xt,其中求和对的所有的非负整数解n1,n2,...,nt进行。tntnntntxxxnnnnxxx.........21212121nnnnt...21证明：把写成n个因子的乘积，每个因子等于。用分配率及合并同类型将这个乘积完全展开，从n个因子中各取一个数，一共选取t个数组成一个乘积。用这种方法取得的结果一共有tn项，而且每一项都可以写成的形式，其中n1,n2,...,nt是非负整数，且它们的和为n。通过选择n个因子中的n1个为x1，剩下n-n1个因子；然后在这剩下的n-n1因子中选择n2个因子为x2，剩下n-n2个因子;...;最终剩下n-n1-...-nt-1个因子为xt，得到项。由乘法原理，项出现的次数为。将该式展开化简可得所以其中求和对的所有的非负整数解n1,n2,...,nt进行。ntxxx...21txxx...21tntnnxxx...2121tntnnxxx...2121tntnnxxx...2121ttnnnnnnnnn11211......!...!!!......2111211tttnnnnnnnnnnnnntntnntntxxxnnnnxxx.........21212121nnnnt...21例1：当被展开时，的系数等于754321xxxxx534321xxxx420!1!3!1!0!2!7131027例2：当被展开时，的系数等于6321532xxx3231xxx36000)5)(3(2213623例3：的展开式一共有多少项?64321xxxx846961461ntn在)32()432(3294321xxxxxx的展开式中24233231xxxx的系数是多少？)32()432(3294321xxxxxx943213943212)432(3)432(2xxxxxxxxxx由多项式定理知道nnnnnnnnnnxxxxnnnnnxxxx43214321432143214321)(得到9432143219432143214433221)4(3)2(9)232(nnnnnnnnnnnxxxxnnnnxxxx因此，原式中24233231xxxx的系数是290304058060808709120!2!1!3!3)9128(!9!2!2!2!3)9128(!9)4(3)2(213393)4(3)2(22239223222解：解：展开3cadb解：展开3cadb谢谢目录点击添加标题点击添加标题点击添加标题点击添加标题添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本添加文本点击添加文本点击添加文本