(完整)高一：零点问题的解题方法

1课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．2(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝1x的图象交点的横坐标所在区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝1x的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－1x的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．【答案】B33．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．【解析】求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7．【答案】D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)【解析】因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝32－log24＝－12＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4【解析】法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－10，f(3)＝log33＋3－3＝10且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝a1x－λ1＋a2x－λ2＋a3x－λ3的两个零点分别位于区间()A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f(x)＝x－2，x0，－x2＋bx＋c，x≤0满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．【解析】∵f(0)＝1，∴c＝1，又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－12，∴b＝12．∴当x＞0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋32x＋1，令g(x)＝0得x＝－12或x＝2(舍去)，综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．【答案】22．(2013·高考天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】由f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0．5x|＝12x．5设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．61．(2015·淄博期末)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2．【答案】22．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝lgx，x0，0，x＝0，－1x，x0，则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5，5]上的解的个数为()A．5B．7C．8D．10【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A．0B．－14C．0或－14D．2【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14．综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C72．(2014·洛阳模拟)已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A．(0，4)B．(4，＋∞)C．(0，2)D．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个