第十章-凯恩方程

第十章凯恩方程东北大学理学院应用力学研究所李永强应用力学研究所李永强第2页第十章凯恩方程§10.1偏速度和偏角速度§10.2凯恩方程1.同Appell思路一样构造独立的速度变量(伪速度)代替不独立的速度变量；2.引入偏速度(partialvelocity)，偏角速度(partialangularvelocity),广义主动力(Generalizedactiveforces),广义惯性力(Generalizedinertiaforces),运动方程由形式简单的广义主动力，广义惯性力表示3.广义主动力，广义惯性力便于计算机计算，步骤程序化应用力学研究所李永强第3页§10.1偏速度和偏角速度具有n个质点的非完整系统，受到d个完整约束和g个非完整约束，则系统的独立的坐标变分数（即系统的自由度）为:f=3n-d-g系统中每一个质点Mi的矢径可用广义坐标表示，即tqqqrrkii,,,,2121,n,,i则质点的速度trqqrrvikjjjiii121,n,,i令，，则上式可写成:jiijqrutruii001ikjjijiiuqurv式中和通常是广义坐标qj和时间t的函数。iju0iu应用力学研究所李永强第4页§10.1偏速度和偏角速度对于刚体系统，类似地可对第i个刚体的瞬时角速度表示为:01ikjjijiq式中和通常是广义坐标qj和时间t的函数。ij0i根据伪速度的定义，系统的广义速度可以用f个独立的伪速度表示为jfjjhhq,01,21k,,,j则0101,011,01,01,01ifiikjijjfkjijjikjjfjijikjjijiiuuuuhuhuhhuuqurv其中kjjijkjijjiqrhuhu1,1,01,00ikjijjiuuhu称为质点系中第i个质点相对于第γ个独立的速度变量的偏速度。和一般为广义坐标qj和时间t的函数。iuiu0iu应用力学研究所李永强第5页§10.1偏速度和偏角速度类似可得0101ifiikjjijiq式中称为刚体系中第i个刚体相对于第γ个独立的速度变量的偏角速度。和一般为广义坐标qj和时间t的函数。ii0i对于完整系统，由于广义速度(j=1,2,…,k)彼此独立，因此可以取伪速度为广义速度，即(γ=j=1,2,…,k)，则相对独立广义速度的偏速度jqjqjiijiqruu应用力学研究所李永强第6页§10.1偏速度和偏角速度注意：偏速度和偏角速度是关于广义坐标qj和时间t的矢量函数，是相对于独立速度而言的，这里的独立速度可以是独立的广义速度，也可以是预先选定的的独立的伪速度。由于独立速度变量的选取不是唯一的，因此对于同一质点或刚体可以有不同形式的偏速度和偏角速度。但是对于质点系中每一个质点Mi和刚体系中每一个刚体Di，都分别有与系统自由度数相同数目的偏速度和偏角速度。因此，在讲偏速度和偏角速度时，必须指明是哪个质点或刚体相对应哪个独立速度的偏速度或偏角速度。jq应用力学研究所李永强第7页§10.1偏速度和偏角速度AOyx22axy例10-1设一质点A在Oxy平面内沿固定的抛物线轨道运动，轨道方程为，其中a为常数，求偏速度。22axy解：该系统为单自由度完整系统。质点A的速度投影应满足限制条件yx,xaxy现取y为独立广义坐标，则为独立广义速度，质点A的速度可表示为yyjiaxjyiaxyjyixvA1相对于独立速度的偏速度为yjiaxuAy1应用力学研究所李永强第8页§10.1偏速度和偏角速度例10-2求图示双摆系统的偏速度。1e2e122l1lyxOAB解：取1和2为独立广义坐标，则和均为独立速度。作单位矢量和分别垂直于OA和AB。则质点A和B的速度可分别表示为:121e2e111elvA222111elelvvvABAB可见，质点A对于和的偏速度分别为:12111eluA02Au而质点B的两个偏速度分别是:111eluB222eluB应用力学研究所李永强第9页§10.1偏速度和偏角速度考虑到和jie111sincosjie222sincos则可将和用表示为:AvBvji,jilelvA1111111sincosjiljilelelvB22221111222111sincossincos因而，点A和点B对于独立速度和的偏角速度成为:12jiluA111sincos102AujiluB111sincos1jiluB222sincos2应用力学研究所李永强第10页§10.1偏速度和偏角速度例10-3行星齿轮Ⅱ半径为r，由连杆OA带动沿固定的的大齿轮Ⅰ滚动。轮Ⅰ的半径为R。试求偏速度与偏角速度。AOyxⅠⅡ解：系统为单自由度完整系统，选连杆的转角为广义坐标，则点A的速度可写成jiljlilvAcossincossin式中的矢量系数就是点A对于的偏速度，即jiluAcossin其中l=R+r。以表示连杆OA的角速度，有1k1故连杆对于的偏角速度为k1应用力学研究所李永强第11页§10.1偏速度和偏角速度令行星齿轮Ⅱ的角速度为，则rrR于是齿轮Ⅱ的角速度矢可写为:2krrRk2故齿轮Ⅱ对于的偏角速度为:krrR2应用力学研究所李永强第12页§10.1偏速度和偏角速度例10-4杆长为2l的直杆AB作平面运动，假设其一端A的速度始终指向另一端B，试写出其中点C的偏速度。AvyxyxCBAO解：取xA,yA和θ为广义坐标，其约束方程为:tanAAxy是一非完整约束，故系统为两个自由度。C点的速度为:jlxilxjlyilxjyixvAAAACCCcostansincossin若取Ax12应用力学研究所李永强第13页§10.1偏速度和偏角速度则C点的偏速度:jiuxCtanjliluCcossin注意到:sincosAAAyxv可以取为伪速度，若取Av1l2则有iuxCjuC可见伪速度的选择不是惟一的，偏速度将因伪速度的选择不同而有不同的形式。应用力学研究所李永强第14页§10.2凯恩方程凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算应用力学研究所李永强第15页§10.2凯恩方程凯恩方程从动力学普遍方程01niiiiirrmF出发导出凯恩方程设有n个质点组成的质点系，具有f个自由度。选取f个伪速度(γ=1,2,…,f)，使系统中每一质点的速度用伪速度表示，即01ifiiuuv21,n,,i由此得:tuturifiiddd0121,n,,i相对于伪速度，引入伪坐标，则第i个质点的虚位移可以用独立的伪坐标的变分来表示，即irfiiur121,n,,i应用力学研究所李永强第16页§10.2凯恩方程凯恩方程将上式代入动力学普遍方程，得:011nifiiiiurmF变换求和次序，得:011fniiiiiiurmuF令niiiuFK1niiiiurmK1*则01*fKK由于δπγ是彼此独立的，于是有0*KK21,f,,凯恩方程式中和分别称为系统对应于第γ个独立速度的广义主动力和广义惯性力。K*K应用力学研究所李永强第17页§10.2凯恩方程凯恩方程将这f个方程与g个非完整约束方程联立求解，则可得到f+g个关于广义坐标qj(t)的方程组，求其解即可确定系统的运动规律。由此可见，利用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义主动力和广义惯性力。0*KK21,f,,凯恩方程应用力学研究所李永强第18页§10.2凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算广义主动力广义惯性力应用力学研究所李永强第19页§10.2凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算__广义主动力对于完整系统，如果取广义速度为独立速度(γ=j)，由上节可知，偏速度，于是广义主动力jqjiijqrujnijiijQqrFK121,g,,j也就是说，广义主动力即为拉格朗日方程中系统对应于广义坐标的广义力。对照第二类拉格朗日方程，根据凯恩方程给出的结果，广义惯性力可由系统的动能表示，即jjjqTqTtKdd*21,g,,j因此，对于完整系统，凯恩方程与第二类拉格朗日方程是等价的。应用力学研究所李永强第20页§10.2凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算__广义主动力对于一般的质点系，广义主动力可表述为：质点系中每一质点上作用的主动力与该点对应于某一独立速度的偏速度的标积之和，称为系统对应于该独立速度的广义主动力。以Kγ表示，即niiiuFK121,f,,对于刚体，广义主动力可表述为：作用于刚体简化中心上的主矢和主矩，分别与该点对应于某一独立速度的偏速度与偏角速度的标识之和，称为刚体对应于该独立速度的广义主动力。假设O点为刚体的简化中心，则有OOOMuRK21,f,,应用力学研究所李永强第21页§10.2凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算__广义主动力现进行证明：当刚体作一般运动时，其上任一质点i的速度OOOMuRK21,f,,iOirvv式中表示简化中心的速度，表示刚体的角速度，表示质点i相对简化中心O点的矢径。OvirOv、和可用伪速度表示，即Oviv01OfOOuuv01ifiiuuv01f将上式代入iOirvv比较等式两边前面的系数，可得iOiruu21,f,,应用力学研究所李永强第22页§10.2凯恩方程广义主动力和广义惯性力的计算__广义主动力iOiruu21,f,,上式表明，刚体上第i个质点相对第γ个独立速度的偏速度，可用刚体简化中心O点和刚体相对第γ个独立速度的偏速度和偏角速度表示。将上式代入广义主动力的表达式，则有