特征值与特征向量的概念、性质及其求法

机动目录上页下页返回结束四、小结思考题三、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念第二节方阵的特征值与特征向量第五章相似矩阵及二次型机动目录上页下页返回结束一、特征值与特征向量的概念说明.,0.1言的特征值问题是对方阵而特征向量x.0,0,.2的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵AEAxEAAn.,,,,1的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义AxAxAxxnnA一、特征值与特征向量的概念机动目录上页下页返回结束0.3EA0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa次方程为未知数的一元称以n0EA.的为A特征方程,,次多项式的它是n记EAf称其.的为方阵A特征多项式机动目录上页下页返回结束则有的特征值为阶方阵设,,,,.421nijaAn;)1(221121nnnaaa.)2(21An机动目录上页下页返回结束解例1.3113的特征值和特征向量求A的特征多项式为A31131)3(2)2)(4(682.4,221的特征值为所以A,00231123,2211xx对应的特征向量应满足时当机动目录上页下页返回结束.0,02121xxxx即,21xx解得.111p取为所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212xxxx即由时当.11,221pxx取为所以对应的特征向量可解得机动目录上页下页返回结束例２.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解,)1()2(2010340112EAA的特征多项式为.1,2321的特征值为所以A由解方程时当.0)2(,21xEA机动目录上页下页返回结束,0000100010010140132~EA,1001p得基础解系.2)0(11的全部特征值是对应于所以kpk由解方程时当.0)(,132xEA,000210101101024012~EA机动目录上页下页返回结束,1212p得基础解系.1)0(322的全部特征值是对应于所以kpk机动目录上页下页返回结束例３设,314020112A求A的特征值与特征向量．解314020112EA,2)1(202)1(2令.2,1321的特征值为得A机动目录上页下页返回结束由解方程时当.0,11xEA,000010101414030111~EA,1011p得基础解系的全体特征向量为故对应于11).0(1kpk机动目录上页下页返回结束由解方程时当.02,232xEA,0000001141140001142~EA得基础解系为：,401,11032pp:232的全部特征向量为所以对应于).0,(323322不同时为kkpkpk机动目录上页下页返回结束例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x.)1(是自然数的特征值是mAmm.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明xAx1xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA(3)当A可逆时，-1|A|是A*的特征值。机动目录上页下页返回结束可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA机动目录上页下页返回结束(3)AA*=|A|EA*=|A|A-1A*x=|A|A-1x=|A|-1x所以-1|A|是A*的特征值。机动目录上页下页返回结束二、特征值和特征向量的性质.,,,,,,,.,,,,,,,221212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmA证明使设有常数mxxx,,,21.02211mmpxpxpx则,02211mmpxpxpxA即,0222111mmmpxpxpx类推之，有.0222111mmkmkkpxpxpx1,,2,1mk二、特征值与特征向量的性质机动目录上页下页返回结束把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmpxpxpx.,,2,10mjpxjj即,0jp但.,,2,10mjxj故.,,,21线性无关所以向量组mppp机动目录上页下页返回结束注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．机动目录上页下页返回结束即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾机动目录上页下页返回结束三、特征值与特征向量的求法例5设A是阶方阵，其特征多项式为n0111aaaAEfnnnA.的特征多项式求AT解AEfTAT0111aaannnTAEAE三、特征值与特征向量的求法机动目录上页下页返回结束四、小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：;det.1EAA的特征多项式计算;,,,,0det.221的全部特征值就是的全部根求特征方程AEAn.,0,.3的特征向量就是对应于的非零解求齐次方程组对于特征值iiixEA四、小结机动目录上页下页返回结束思考题.,0det,2,0A3Edet:4的一个特征值求满足条件阶方阵设AAEAAAT思考题机动目录上页下页返回结束思考题解答知由可逆故因为0)3det(.,0detEAAA解,3的一个特征值是A.311值的一个特征是从而A即得又由,16)2det()det(2EAAEAATT,4det,0det,4det,16)(det2AAAA因此但于是.34有一个特征值为故A思考题解答