四元数

一.四元数的基本概念1.四元数定义：四元数是由四个元构成的数：其中是实数，i,j,k是相互正交的单位向量。四元数乘法关系中可看出，相同单位向量做四元数乘时为虚数单位特性；相异为单位向量叉乘特性。kqjqiqqqqqqQ32103210),,,(3210,,,qqqq1,1,1kkjjiiiikikjkji,,jkiijkkij,,一.四元数的基本概念2.四元数的表达方式a.矢量式：，是Q的标量部分，是Q的矢量部分。b.复数式：可视为一个超复数，其共轭复数:Q*称为其共轭四元数。c.三角式：θ为实数，为单位向量d.指数式：e.矩阵式：.qqQ00qqkqjqiqqQ3210kqjqiqqQ3210*2sin2cosuQu2ueQ3210qqqqQ一.四元数的基本概念3.四元数的大小——范数若||Q||=1,则为规范化四元数4.四元数的运算a.加法与减法：对应元相加减。b.除法：求逆。23222120||||qqqqQ一.四元数的基本概念c.乘法注：满足分配律，结合律，不满足交换律krjrirrkqpqpqpqpjppppqpqpiqpqpqpqpqpqpqpqpkqjqiqqkpjpippQP32101221033031130220233201103322110032103210)()()()()()(一.四元数的基本概念矩阵形式：PQMppppqqqqqqqqqqqqqqqqrrrr)('321001231032230132103210QPMqqqqpppppppppppppppprrrr)(321001231032230132103210一.四元数的基本概念划去M(P)的第一行和第一列得Vp称为M(P)的核：012103230pppppppppVP012103230'qqqqqqqqqVQ同理，为M'(Q)的核'QV二.四元数与姿态阵之间的关系参考坐标系R,坐标轴坐标轴方向单位向量。坐标系b与刚体固联，坐标轴，坐标轴方向单位向量。初始时刻b系与R系重合，刚体相对于R系做定点转动，定点为O。如下图，A点转动到A'点。000,,zyx000,,kjizyx,,kji,,二.四元数与姿态阵之间的关系初始时刻A位置向OA=r,（该位置向量的空间位置，实际上描述了刚体的空间角位置）经过时间t后位置向量处于OA'=r'。刚体从A位置转到A'位置的转动可等效成绕轴u(单位向量)转过θ角一次完成。AOOOrBOAOAOruuuurruAOuBOuurrOOrAOuurOO'''sin'cos''')('')(')(''二.四元数与姿态阵之间的关系根据上面的式子，能找到的关系如下：rr,')()cos1(sin'ruururr刚体的旋转还有各个向量都是相对于R系：RRRRruururr)]()[cos1(sin)('记：''''zyxRrrrrzyxRrrrrnmluR二.四元数与姿态阵之间的关系zyxRrrrlmlnmnru000)(000lmlnmnU的关系可化为：rr,'RRrUUUIr)2sin22cos2sin2('2UUUID2sin22cos2sin22RRDrr'二.四元数与姿态阵之间的关系初始时刻刚体固联的坐标系（机体坐标系）,与参考坐标系重合，所以0b0bRrr转动过程中，b系同刚体固联，所以bbrr'所以bRDrr''二.四元数与姿态阵之间的关系所以，D即为b系至R系的坐标变换矩阵UUUIDCRb2sin22cos2sin222sin)(2sin2sin2sin2sin)(2sin2sin2sin2sin)(202sin2sin2sin02sin2sin2sin02cos2111222222222222222mlmnnlmnnllmnllmnmlmlnmnCRb二.四元数与姿态阵之间的关系构造四元数：2cos0q2sin1lq2sin2mq2sin3nq2sin2cos2sin)(2cos0000302010RubkmjlikqjqiqqQ二.四元数与姿态阵之间的关系结论：1.四元数描述了刚体的定点转动（描述了机体坐标系的定点转动），即当只关心b系相对R系角位置时，可认为b系是由R系经过无中间过程的一次性旋转形成的，Q则包含了旋转的全部信息：为旋转轴和旋转方向，θ为转过的角度。与欧拉角比较：也描述了刚体的转动，非一次性旋转完成，中间过程不同，姿态矩阵不同。2.四元数可确定b系至R系的坐标变换矩阵：2sin2cosRuQRu)(21)(2)(2)(2)(21)(2)(2)(2)(2122211\0322\0311\03223213\0212\03130212322qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCRb二.四元数与姿态阵之间的关系3.由于=1，所以：23222120||||qqqqQ232221201032203110322322212030212031302123222120)(2)(2)(2)(2)(2)(2qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCRb4.如果将向量看做零标量的四元数，则有以下关系，其中Q为R系至b系的旋转四元数：bRrr,*QrQrbRbRbbbRrCrQMQMQrQr0*)(')(*二.四元数与姿态阵之间的关系欧拉角表示的姿态矩阵求欧拉角：coscossincoscossinsinsinsincoscossinsincoscoscossincossinsincossinsincossinsinsincoscossCbn333231232221131211TTTTTTTTTCCTbnnb二.四元数与姿态阵之间的关系)arctan()arctan()arcsin(2212333132TTTTTooT22T12(度)-0+90-0--90++o+-o-+o+180--o-180二.四元数与姿态阵之间的关系oT33(度)++o-+o+-o-180--o+180二.四元数与姿态阵之间的关系333231232221131211TTTTTTTTTCRb232221201032203110322322212030212031302123222120)(2)(2)(2)(2)(2)(2qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqCRb)arctan()arctan()arcsin(2212333132TTTTToo三.欧拉角与四元数比较1.欧拉角万向节死锁三.欧拉角与四元数比较先绕物体坐标系x轴(Xl)旋转30度，此时的物体坐标系已经发生变化。三.欧拉角与四元数比较然后再绕Yl轴旋转90度，此时，你会发现Zl轴已经和参考坐标系X轴共轴。三.欧拉角与四元数比较根据坐标欧拉角坐标（30,90,-40），此时等同于（70,90,0）。本质上只绕了两轴旋转，少了一个自由度。这就是万向节死锁现象。三.欧拉角与四元数比较分析：万向节死锁是欧拉角表示物体姿态的一个很大缺陷。