幂函数

幂函数课前自修区基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实课堂讲练区考点不宜整合太大，挖掘过深否则会挫伤学习的积极性课时跟踪检测课前自修区一、基础知识批注——理解深一点1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R___R________{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}_________奇偶性奇___奇________奇单调性增______________________增增______________________公共点_____R{x|x≥0}{y|y≠0}非奇非偶偶(－∞，0)减，(0，＋∞)增(－∞，0)和(0，＋∞)减(1,1)二、常用结论汇总——规律多一点对于形如f(x)＝xnm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)函数y＝2x13是幂函数．()(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)幂函数的图象不经过第四象限．()×√√(二)选一选1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点12，22，所以12α＝22，所以α＝12，所以k＋α＝1＋12＝32.答案：C2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f(2)＝()A.14B.4C.22D.2解析：设f(x)＝xα，∵图象过点4，12，∴f(4)＝4α＝12，解得α＝－12，∴f(2)＝212＝22.答案：C3．函数y＝x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：函数y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x12－1的图象可看作由函数y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将函数y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.答案：B(三)填一填4．若y＝ax212a是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y＝ax212a是幂函数，得a＝1，所以y＝x12，所以y≥0，故该函数的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m＝2.答案：2课堂讲练区考点一幂函数的图象与性质[典例](1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数[解析]设f(x)＝xα，将点(3，33)代入f(x)＝xα，解得α＝13，所以f(x)＝x13，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.[答案]C(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－nn(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2[解析]∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－nn在(0，＋∞)上是减函数，∴n2＋2n－2＝1，n2－3n0，∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.[答案]B[解题技法]幂函数y＝xα的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．口诀助解幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象恒过点(1,1)，单调牢记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质看指数．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为()A．y＝x－4B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13解析：函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．答案：A2.[口诀第2、3、4句]已知当x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．解析：当p0时，根据题意知p1，所以0p1；当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意；当p0时，函数y＝xp的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二比较幂值大小[典例]若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bcaD．bac[解析]因为y＝x23在第一象限内是增函数，所以a＝1223b＝1523，因为y＝12x是减函数，所以a＝1223c＝1213，所以bac.[答案]D[解题技法]比较幂值大小的常见类型及解决方法解决方法常见类型常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小既不同底又不同指利用幂函数单调性进行比较同指不同底利用指数函数单调性进行比较同底不同指[题组训练]1．若a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：因为y＝x25在第一象限内为增函数，所以a＝3525c＝2525，因为y＝25x是减函数，所以c＝2525b＝2535，所以acb.答案：B2．若(a＋1)12(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋13－2a，解得－1≤a23.答案：－1，23