第五次作业-结构-变分原理

变分原理在结构分析中的应用摘要：变分法是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力的工具，本文从变分原理的基本理论出发，讲解变分法及其相关理论在结构分析中的应用。长期研究表明，变分原理是研究很多复杂结构的基础。关键词：变分原理；结构分析；应用1引言现代结构大多是由多个不同维数和不同性能的结构构件耦合或杂交而成的组合结构体系。例如:框剪、框筒、筒中筒、巨型框架等高层结构;网架、网壳、索穹顶、索承穹顶、张弦梁、索桁架等大跨度结构。这些结构由于其复杂性，不能通过常规的方法得到其精确的解[1]。现代结构的分析方法，基本上可以分为两大类:一类是有限元法，即将所分析的结构采用离散化的数学模型[2-4]；另一类是连续化法，即将所分析的结构采用连续化的数学模型[5-7]。但是这两类方法的数学理论基础都是一样的，均可归结为求泛函的极值或驻值的变分问题[8,9]。国内外学者都十分重视变分原理的研究与应用，因为它是现代结构理论分析与简化计算的出发点[10]。2变分原理在结构工程中的应用2.1薄板弯曲问题中的变分原理在结构分析力学中，有位移法和力法，在能量变分直接法中，与之对应的有势能原理与余能原理，前者以位移为未知数，后者以内力为未知数。故用势能原理分析时，选用位移函数，用余能原理分析时，选用内力函数。从理论上讲，欲求结构的位移可以采用势能原理，欲求结构的内力可以采用余能原理[2,3]。2.1.1势能原理解法：薄板在均布荷载q作用下的总势能为：222222222200002(1)2ababD（1）式中：w为薄板的挠度；为泊松比；a与b为矩形薄板的边长。选择位移函数：1(,)niiiwAxy（2）式中：iA为待定常数；(,)ixy为位移函数基，(,)ixy应尽可能满足边界上的位移条件，而且还必须满足连续条件。将（2）代入式（1）积分后由势能驻值原理：0iUA1,2,,in（3）式（3）为n个代数方程式，解之得iA及w的值。2.1.2余能原理解法[11]：薄板在均布荷载q作用下的总余能为：222200122(1)2(1)abxyxyxyMMMMMdxdyD（4）式中xM，yM及xyM为薄板的内力矩。要求内力函数应先满足薄板的平衡条件，并且尽可能满足力的边界条件。对于这个内力函数，要选择恰当的逼近函数是有些困难的，为了克服这个困难，可先让xyM满足力的边界条件，然后将它与xM和yM共同考虑，选出能满足平衡方程的函数形式。薄板的平衡方程为:2222220yxyxMMMqxyxy（5）选择内力函数:1(,)nxyiiiMAxy（6）式中：iA为待定常数；(,)ixy可以选择满足薄板在边界上对扭矩限制条件的函数，如在自由角点要求xyM为零，然后选择xM和yM，如：2011(,)()4nnaixiiiiixyqxMAdxByy（7）2011(,)()4nnbiyiiiiixyqyMAdyCxx（8）式中:iB及iC为待定常数；i和i均为一个自变量的函数，甚至可以选为常数。显然式(6)～(8)已满足平衡方程(5)。将式(6)～(8)代入式(4)积分后由余能驻值原理：0iA，0iB，0iC1,2,,in（9）可得到式(9)为3n个代数方程式，解之可求出3n个待定常数及xM，yM和xyM等值。2.1.3能量变分法与有限元法：有限元法是我国和国外各自独立地创造发展起来的。冯康参与了我国有限元法的创始与理论奠基工作[3]，早在20世纪60年代前期就曾认为，在计算机的配合下这一方法会使固体力学问题得到实际解决。能量变分法在有限元法的创造发展中所起的作用，正如冯康在其专著[3]的序中所写的:“大家知道，变分原理是弹性理论的数学表达方式之一，它虽不是唯一的方式，但确定是充足的，即可以处理几乎一切弹性问题。大家也知道，基于位移的势能极小原理在弹性理论的变分原理中虽不是唯一的，但同样确实是充足的，而且具有最大的通用性，特别适用于复杂性大的问题。还应该指出，有限元法正是基于变分原理这一数学形式，特别是取以位移为基础的变分原理的形式之后，才在实践上取得巨大成功”。有限元法[12]采用离散化数学模型，将结构离散成若干有限元后，进而采用能量变分法导出其刚度矩阵[13]。具体步骤：1）由能量原理建立有限元的总势能；2）由有限元的节点边界条件选出位移函数；3）由势能驻值原理建立联立方程式；4）解之可得有限元的刚度矩阵。在薄板弯曲问题中，将薄板离散成若干有限元，其形状为三角形或四边形，取其节点的位移（挠度及转角）为基本未知参数，由能量原理建立有限元的总势能（式（1）），然后由势能驻值原理导出有限元的刚度矩阵。当选择的位移函数能保证挠度和转角满足连续条件的称为协调元，若只能保证挠度的连续性，而转角有可能不连续，称为部分协调元。文[错误!未定义书签。]介绍了三角形元，分别采用6个位移参数和9个位移参数的部分协调元，还介绍了矩形元采用12个位移参数的部分协调元。从理论上讲，协调元比较理想，因为它严格遵守了变分原理。为此，文[错误!未定义书签。]还介绍了二次分片插入法、杂交法、条件极值法及分项插入法等协调元。这些协调元也都是以节点上的广义位移参数作为基本未知数。2.2梁弯曲问题中的变分原理[2,3]将梁离散成若干有限元，设其起点是ix，终点是jx，长jilxx，坐标原点设在ix点上。令：1()jxxl，1()ixxl有限元的总势能：2222jixxEIdwUqwdxdx（10）选位移函数：2222(3)()(3)()iijj（11）式中：w为挠度；为转角；E为材料弹性模量；I为梁的截面惯性矩。将式(11)代入式(10)，积分后将结果用矩阵表示，则：/2TTuKuFuU（12）由0KuFU（13）得梁单元的有限元刚度矩阵：22326363232632lllllEIlll对称K（14）,,,Tiijjwwu（15）式中TF为有限元的广义荷载。2.3变分法在现代结构分析中的应用现代结构是由多个不同维数和不同性能的结构构件耦合或杂交而成的组合结构体系。因此，现代结构的分析比梁、板及壳结构分析要复杂得多，但可以运用梁、板及壳分析的成果予以简化计算。由此而产生连续化的数学模型，即根据连续原理将杆系结构化为连续体结构[5-7]。例如，在高层结构计算中，将框筒的四周框架模拟为四块等效的均质正交板，将圆筒的周边框架模拟为等效的圆柱壳；在空间结构计算中，将网架模拟为等效的夹层板，将双（单）层网壳模拟为等效的夹（单）层壳；在高耸结构计算中，将钢塔架模拟为等效的剪弯悬臂杆等。此外，在有些结构，如斜拉结构、网格拱、拉索穹顶、新型索桁架及索承穹顶等结构，采用了半离散半连续模型。数学模型确定后，进而采用能量变分法进行分析。分析步骤：1）由能量原理建立结构的总势能；2）根据结构边界条件选出位移函数；3）由势能驻值原理建立联立方程式；4）解联立方程式，并计算结构的位移和内力。2.4变分法在结构抗震验算中的应用为解决这个问题，提出了基于变分原理的拟势能原理和拟余能原理[14,15]。设ijAe代表应变能密度，它是各应变分量的函数，根据定义存在如下关系：ijijijAee,1,2,3ij（16）同样，再设ijB代表余能密度，根据定义可知：ijijijijAeBe（17）且ijijijBe（18）2.4.1拟势能原理在具有伴生体力和伴生表面力作用的系统中，满足小位移应变和位移关系，即12ijijjieuu，,1,2,3ij和在物体表面uS上给定位移条件，即12uu时，在所有的允许位移和应变中，实际的位移和应变必须使下面定义的变分式得到满足：10QP（19）式中，11111pijSAeFudpuds和11QuFd，11pSPupds（20）若实际位移，应变为1u，ije，则它们必须满足平衡方程和力的边界条件，当1F和1p为非伴生体力时，即1F和1p与其他参量无关，应取为常量，此时定理中0Q，0P，即退化为通常的势能原理。2.4.2拟余能原理在满足小位移变形的具有伴生体力作用的平衡方程，即式,10ijiF,1,2,3ij和在物体表面pS上给定的伴生力条件即1ijjnp时，在所有允许的应力ij中，实际应力必须使下面定义的变分式得到满足：20R（21）式中，2iijijjSPBdunds和11RuFd（22）当1F为非伴生体力时，即1F应取为常数，此时定理中，0R，即退化为通常的余能原理。2.4.3求解地震荷载近似值凡满足平衡方程、力的边界条件及位移边界条件的解才是真实解；否则便是非真实解，且真实解是唯一的。通过算倒分析，利用拟势能原理和拟余能原理可以求解结构地震荷载近似的上限值、下限值问题。原则上，利用拟势能原理和拟余能原理求解真实问题是等价的，但更多的情况下，我们是利用这两个原理求结构的近似解，即上、下限问题。需要指出的是，在利用拟势能原理和拟余能原理计算结构地震荷载上限值和下限值时，假设结构的变形场和应力场是非常重要的。假设结构的变形状态应根据实际经验及频率方程为依据，据此如果假设的结构的变形状态和力分布状态与实际符合得越好，利用拟势能原理和拟余能原理计算求解结构地震荷载上限值和下限值就越为准确；反之，假设结构的变形状态和力分布状态与实际符合得不好，利用拟势能原理和拟余能原理求解结构地震荷载上限值和下限值只能是准上限值和准下限值。这就说明如果实际的变形状态或力分布状态与假设的变形状态或力分布状态相符，则利用拟势能原理和拟余能原理求解结构地震荷载的解是上限值或下限值，否则为准上限值和准下限值。3结语在结构工程的计算中，变分原理已经成为结构分析的一种重要手段，借助变分原理，我们可以解决许多之前无法解决的问题，并且与现在的计算机技术相结合，能够大大简化解决问题的过程。参考文献[1]郭丫.论现代建筑结构力学分析法[J].华章,2011(18):300.[2]胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用[M].科学出版社,1981.[3]马原.弹性结构的数学理论[M].科学出版社,1981.[4]钱伟长.变分法及有限元[M].科学出版社,1980.[5]刘开国.结构简化计算原理及其应用[M].科学出版社,1996.[6]刘开国.高层与大跨度结构简化分析技术及算例[M].中国建筑工业出版社,2006.[7]刘开国.现代结构理论分析与简化计算[M].科学出版社,2010.[8]戴姆.固体力学变分法[M].中国铁道出版社,1984.[9]HECHTKT.TheVariationalMethod[M].SpringerNewYork,2000:211-228.[10]徐颖,周华.现代结构优化设计理论浅析[J].矿山机械,2003(11):68-70.[11]蒋友谅.一个新的薄板弯曲三类变量广义余能原理[J].山东建筑大学学报,1990(4):33-41.[12]COOKRD,MALKUSDS,PLESHAME,etal.ConceptsandApplicationsofFiniteElementAnalysis[M].Wiley,1989:188-194.[13]刘开国.能量变分法在现代结构分析中的应用[J].建筑结构,2012(12):78-81.[14]柳春光,刘殿魁,崔高航,等.变分法在结构抗震验算中的应用[J].地震工程与工程