双曲线性质小结

双曲线1.122PFPFa2.标准方程22221xyab3.111PFed4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9．双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.10．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.11．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.12．AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka.13．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.14．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.15．若PQ是双曲线22221xyab（b＞a＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)rOPrOQrrab.16．若双曲线22221xyab（b＞a＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1)222211ABab;(2)424222222||aAbBLaAbB.17．给定双曲线1C：222222bxayab（a＞b＞0）,2C：222222222()abbxayabab,则(i)对1C上任意给定的点00(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点M2222002222(,)ababxyabab.(ii)对2C上任一点'''00(,)Pxy在1C上存在唯一的点'M,使得'M的任一直角弦都经过'P点.18．设00(,)Pxy为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点00(,)Mmxmy(1)m的充要条件是212211mbkkma.19．过双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.20．双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2FPFSb，2222(cot,cot)22abPcbcc.21．若P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.22．双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的焦半径公式：1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa,20||MFexa.当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa,20||MFexa.23．若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24．P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则21||2||||AFaPAPF,当且仅当2,,AFP三点共线且P在左支时，等号成立.25．双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：0()ykxx对称的充要条件是22220222()0abaxkkabkb且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是双曲线sectanxayb（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tane.29．设A,B为双曲线2222xykab（a＞0,b＞0，0,1kk）上两点，其直线AB与双曲线22221xyab相交于,PQ,则APBQ.30．在双曲线22221xyab中，定长为2m（0m）的弦中点轨迹方程为222222222222222221coshsinh,coth,001sinhcoshcoth,00xyayatbttxtabbxmxybxatbttytabay时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，00(,)Mxy是AB中点，则当lS时，有20min()2alxce222(cab,cea);当lS时，有220min()42axblb.32．双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.33．双曲线220022()()1xxyyab（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.34．设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sin(sinsin)cea.35．经过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则21122||||PAPAb.36．已知双曲线22221xyab（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba;（3）OPQS的最小值是2222abba.37．MN是经过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则2||2||ABaMN.38．MN是经过双曲线22221xyab（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OPMN，则2222111||||aMNOPba.39．设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线l：2axm上.40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设双曲线方程22221xyab,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线'ykx上,而且2'2bkka.43．设A、B、C、D为双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则22222222||||cossin||||cossinPAPBbaPCPDba.44．已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点，12FPF的内（外）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是222xya(2222222222aybxxccyaybxc).45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.46．过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.47．设A（x1,y1）是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2121bxay的直线L，又设d是原点到直线L的距离,12,rr分别是A到双曲线两焦点的距离，则12rrdab.48．已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）和2222xyab（01），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则220abxa或220abxa.50．设P点是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122cot2PFFSb.51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：xn于M，N两点,则90MBN2222()anmamambna.52．L是经过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点PL，若APB，则是锐角且1sine或1sinarce（当且仅当||PFb时取等号）.53．L是经过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点PL，e是离心率，EPF，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且1sine或1sinarce（当且仅当||abPAc时取等号）.54．L是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且21sine或21sinarce（当且仅当221||bPFacc时取等号）.55．已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则222112(2)||||abFAFBa（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.56．设A、B是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|