含字母系数的一元一次方程-教师版

1/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程含字母系数方程虽然在中考大纲中，对含字母系数方程并没有作任何要求。但是通过学习含字母系数方程可以帮助学生初步养成分类讨论的基本思想，因此也需要学生进行掌握和理解当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．参数【例1】请说出下列关于x的方程中的参数⑴axb；⑵xncm【解析】因为以上方程均是关于x的方程，所以x是未知数，方程⑴中的参数有a、b，方程⑵中的参数有m、n、c【答案】略【巩固】请说出下列关于y的方程中的参数⑴21yax；⑵xmny；⑶0aybc【解析】略【答案】方程⑴中的参数有a、x方程⑵中的参数有x、m、n方程⑶中的参数有a、b、c分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm，abmm(0)m．由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。若在不能确定的情况下，必须进行讨论【例2】请问下列关于x的方程，再进行系数化为“1”时，是否需要进行分类讨论⑴2xa；⑵axb；⑶2(1)axb；⑷(1)bxc；⑸(1)axm【解析】略【答案】⑴不需要；⑵需要；⑶不需要；⑷不需要；⑸需要含字母系数的一元一次方程知识讲解同步练习2/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程【巩固】已知a是有理数，在下面4个命题：①方程0ax的解是0x．②方程axa的解是1x．③方程1ax的解是1xa．④方程axa的解是1x．中，结论正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解析】略【答案】A分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，方程的解由a、b的取值范围确定．⑴当0a时，bxa，原方程有唯一解；⑵当0a且0b时，解是任意数，原方程有无数解；⑶当0a且0b时，原方程无解．【例3】解关于x的方程axb【解析】∵不能明确a的值是否为0，因此再求解过程中，必须进行分类讨论【答案】⑴若0a，则根据等式的性质②，方程两边同时除以a，得bxa，此时方程有唯一解⑵若0a时，就不能应用等式的基本性质②，根据方程的解的定义我们可以将1x任意数值代入原方程得左边010，右边b①如果0b，则左边右边，此时1x是方程axb的解②如果0b，则左边右边，此时1x不是是方程axb的解同理我们可以对x取任意数值代入，∴当0a，0b时，方程axb的解为任意解当0a，0b时，方程axb无解【巩固】解关于x的方程：1()()34mxnxm【解析】分类讨论【答案】去分母，化简可得：(43)43mxmnm，①当34m，n为任意数时，4343mnmxm；②当34m时，34n，解为任意数；③当34m，34n时，方程无解．【变式】方程abxbax（ba）的解______.【答案】移项，得abbxax，.)(abababx3/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程故当ba时，00x，x可为任何数；当ba时，0ab，故.abx【巩固】解关于x的方程：(0)xnxmmmnmnn【解析】分类讨论【答案】方程可以化简为0xnxmn，得到2()nmxn，①当0nm时，2nxnm；②当0nm时，将mn代入0xnxmn，得到0n．与已知矛盾，方程无解．综上所述，当0nm时，2nxnm；当0nm时，方程无解．【变式】解关于x的方程：.kxkhhx【解析】这里显然x是未知数，字母系数是h，k，但并未说明h，k之间的关系.所以我们把原方程整理成bax的形式后，要进行分类讨论.解∵0k，∴方程两边同乘以k，得2khxhkkx，移项、合并同类项得)()(khkxkh，（1）当0kh时，kx；（2）当0kh时，方程有无穷多组解.本题运用了分类讨论思想对0kh，0kh两类情况进行了讨论，反映了思维的周密性.根据方程解的个数确定参数的数值【例4】关于x的方程43mxxn，分别求m，n为何值时，原方程：⑴有唯一解；⑵有无数多解；⑶无解．【解析】略【答案】方程可以转化为(3)4mxn，⑴当3m，n为任意值时，方程有唯一解；⑵当3m，4n，方程有无数解；⑶当3m，4n时，无解．【巩固】已知关于x的方程2(1)(5)3axaxb有无数多个解，那么a，b．【解析】略【答案】2253axaxaxb，即(35)23axab，故350a且230ab，即53a，109b．【巩固】已知关于x的方程(21)32axx无解，试求a的值．【解析】略【答案】由题意得230a，20a，即32a时方程无解．4/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程含字母参数的整数根问题【例5】m为整数，关于x的方程6xmx的解为正整数，求m的值．【解析】整除问题【答案】由原方程得：61xm，x是正整数，所以1m只能是6的正约数，它们是1，2，3，6，所以m为0，1，2，5．【巩固】若关于x的方程917xkx的解为正整数，则k的值为．【解析】略【答案】917xkx可以转化为(9)17kx，即：179xk，x为正整数，则k8或8．【例6】已知方程(1)7mxx的解为整数，则整数m的值为_____________【解析】分离常数法【答案】整理得：76111mxmm（分离常数法），∵方程的解，m均为整数，∴1m的值可以为1，1，2，2，3，3，6，6∴整数m的值为2，1，3，2，4，5，7【例7】已知a是不为0的整数，并且关于x的方程322354axaaa有整数解，则a的值共有（）A．1个B．3个C．6个D．9个【解析】由原方程可知，24235xaaa．由于a是不为0的整数且x为整数，所以a1，1，2，2，4，4．【答案】C【巩固】已知a为正整数，关于x的方程5814225xax的解为整数，求a的最小值．【解析】略【答案】1014209157977157999aaaaxa，由于a为正整数，x为整数，故a的最小值为2．定解方程【例8】若a，b为定值，关于x的一元一次方程2236kaxbx，无论k为何值时，它的解总是1x，求a和b的值．【解析】略【答案】因为该方程的解为1x，代入原方程可得到：21236kab，即413akb①，又因为原方程的解不论k取何值时都是1x，这说明方程①有无数多个解，即40a且130b，所以0a，13b．5/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程【巩固】如果a、b为定值，关于x的方程2236kxaxbk，无论k为何值，它的根总是1，求a、b的值．【解析】略【答案】无论k为何值21236kabk为恒等式，42121kabk，(4)132bka，即40b且1320a，故4b，132a．同解方程【例9】若()40kmx和(2)10kmx是关于x的同解方程，则2km的值是．【解析】略【答案】方程(2)10kmx等号两边乘以4得(48)40mkx，故48kmmk，则523km．【巩固】若方程3x-5=4和方程0331xa的解相同，则a的值为多少？【解析】题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。解：3x-5=4，3x=9，x=3因为3x-5=4与方程0331xa的解相同所以把x=3代人0331xa中即03331a得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2【例10】已知关于x的方程32()43axxx，和方程3151128xax有相同的解，求这个相同的解．【解析】略【答案】由方程32()43axxx得到27ax，由方程3151128xax得到27221ax，所以2272721aa，得到278a，代入得到2728x．【巩固】已知关于x的方程3242axxx和方程3151128xax有相同的解，求出方程的解．【解析】略【答案】把a当常数，方程3242axxx的解为37xa，方程3151128xax的解为27221ax，6/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程故3272721aa，解得2711a，所以8177x．绝对值方程知识回顾：我们知道，化简绝对值a时，必须要先明确a的正负性，当a的正负性不能明确的时候，必须要进行讨论，即(0)(0)aaaaa解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论，基本方法就是“零点分段法”。零点分段法零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点②零点分段讨论③分段求解方程④检验【例11】方程21302x的解为．【解析】零点分段法【答案】方程可化简为216x令210x，则12x当12x时，方程可化为126x，解得52x，检验符合12x∴52x当12x时，方程可化为216x，解得72x，检验符合12x∴72x综上所述，72x或52x【巩固】解方程4329xx【解析】零点分段法【答案】令430x，则34x当34x时，原方程可化简为：4329xx，2x检验符合34x，2x是方程的解．当34x时，原方程可化简为：4329xx，3x检验符合34x，3x是方程的解．综上所述2x和3x是方程的解．7/12同步课程˙含字母系数的一元一次方程【巩固】解方程525xx【解析】零点分段法【答案】令50x，则5x当5x，原方程化为525xx，解得10x检验符合5x，10x是原方程的解当5x，原方程化为525xx，解得0x检验不符合5x，0x不是原方程的解，舍去综上所述，10x是原方程的解【例12】解方程134xx【解析】零点分段法【答案】令10x，30x，则1x，3x当1x时，原方程可化简为：(1)(3)4xx，0x检验符合1x，0x是原方程的解；当13x时，原方程可化简为：1(3)4xx，此方程无解；当3x时，原方程可化简为：134xx，4x检验符合3x，则4x是原方程的解；综上所述，原方程的解为：0x或4x．【巩固】解方程2131xx【解析】零点分段法【答案】令210x，310x，则12x，13x当13x时，原方程化为1231xx，2x检验符合13x，∴2x是原方程的解当1132x时，原方程化为1231xx，0x检验符合1132x，∴0x是原方程的解当12x时，原方程化为2131xx，2x检验不符合12x，∴2x不是原方程的解综上所述，2x或0x是原方程的解绝对值的几何意义“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法，但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂，所以有些类型的绝对值方程，我们可以采用“绝对值的几何意义”来求【例13】解方程1x【解析】我们知道x代表的含义是数轴上代表“x”的点到原点的距离，而到原点距离等于1的点有两个，分别位于原点两侧，“