以时间序列分析法侦测

1以時間序列分析法偵測台灣一等二級水準網之殘留系統誤差DetectingRemainedSystematicErrorsInTheFirst-OrderClassⅡLevelingNetworkofTaiwanByUsingTimeseries指導教授：許榮欣學生：李明一前言時間序列（Timeseries），係指以時間順序型態出現之一連串觀測值集合，或更確切的說，對某動態系統（DynamicSystem）隨時間連續觀察所產生有順序的觀測值集合。時間序列分析是一種數理統計的方法，它可以計算兩筆相近資料間的統計相關性，因此可用來判斷是否含有系統誤差。綜合上述，假如把時間序列分析的概念帶入水準測量中，吾人可加以利用的數據包含有測段閉合差、測段長、坡度、往返施測時的氣溫及測段方位角…等眾多數據[Vanicek,P.&Craymer,M.，1983]。時間序列分析法一組觀測值NXXX,...,,21，若沿著時間先後有順序地產生，則稱此組觀測值為一時間序列，而正整數N被稱為時間序列的長度[葉小蓁，1998]。任一時間序列均可延著時間軸作其對應的時間序列圖，如圖1。圖1時間序列[葉小蓁，1998]在一穩定隨機過程1iiX中，測度二個隨機變數tX與ktX（k為一整數）2間其相隔一個固定期間或時間落後k期之線性相依關係可由tX與ktX之互變異數來闡釋，利用互變異數來測度任何一對隨機變數所存在之線性關係，吾人稱其為自我互變異數（Autocovariance）。定義其數學式為kttkttkZZEXX,cov(1)式中tZE，對所有t值皆有相等性，此為平穩型隨機過程之特性[林茂文，1992]。接續式(1)自我互變異數的概念，定義隨機變數tX與ktX在相隔k期之自我相關係數（Autocorrelationatlagk），以k表示，其數學式為020)var()var(),cov(kkkttkttkXXXX(2)其中平穩型隨機過程之特性為在時間t與kt均具有相同的變異數[林茂文，1992]，而0kk被稱為自我相關函數（AutocorrelationFunction，ACF）。自我相關函數有如下之特性：[葉小蓁，1998](1)10(2)11j，,...2,1j(3)j無單位(4)jj，,...2,1j平穩型時間序列（StationaryTimeSeries）係指一個時間序列其統計特性將不隨時間之變化而改變者，換言之，一個平穩型時間序列為一隨機過程之特殊實現值，且這種隨機過程之統計特性並不隨時間之變化而改變，即隨機過程1iiX需滿足以下三個條件：(1)iXE(2)0variX(3)mmiiXX,cov其中E表示期望值，var表示變異數，cov表示共變數，、0及m均為有限的固定參數[Hsu,R,2002]。依上述平穩型時間序列特性，則每個觀測值可以表示為諸個互相獨立3且具有相同機率分配之隨機變數序列...,,21tttaaa之線性組合，而這些隨機變數通常假設為常態分佈，其期望值為0，變異數為2a。因此，此種序列隨機變數,...,,21tttaaa稱為白色干擾過程（WhiteNoiseProcess）。ta之線性組合可以表示為...22110ttttaaaX(3)式中與j,...2,1,0j為固定的參數值，j稱為權數（Weight），通常設10，為決定過程之平均水準。若一個時間序列為平穩型，即此序列為對固定均值上下隨機波動，若時間序列為非平穩型，則可知該序列無固定平均值。一般而言，假若權數j為有限（Finite）或無限且收斂（InfiniteandConvergent）者，則可知此時間序列tX為對平均數之平穩型時間序列，假若j為無限且發散者（InfiniteandDivergent），則此數列為非平穩型時間序列[林茂文，1992]。將(3)式之係數j以j替換，並僅討論前q個非零之權數，即當qj時，0j。則qtqttttaaaaX...2211(4)式中),...,,,1(21q亦稱為震動影響或記憶函數（Shock-EffectorMemoryFunction），表示震動ta將持續影響qttt,...,1,等)1(q個時期後消失。式(4)稱為q階之移動平均過程（MovingAverageProcessofOrderq，MA(q)）。MA(q)之自我相關函數經相關推導已得知在時間位差q,...,2,1時不為零，而自落後q個時期始為零，即自我相關函數在時間位差q之後截斷（CutsOffatLagk）。[林茂文，1992]式(3)經相關推導可產生tptptttaXXXCX...2211(5)4(5)式稱為p階自我迴歸過程（AutoregressiveProcessofOrderp，AR(p)）。自我迴歸過程名稱之由來係將隨機過程1ttX中任一當期值（CurrentValueoftheProcess）tX視為迴歸模型中的應變數，而將前p期值ptttXXX,...,,21視為自變數做一複迴歸，而自變數與應變數來自同一隨機過程，因此而得自我迴歸之名[葉小蓁，1998]。對一真實性時間序列欲建立一經驗模式，吾人有時發現可以同時採用包含有自我迴歸與移動平均項，以推導出較僅有自我迴歸項或僅有移動平均項更貼近實際之模式。此種模式一般稱為(p,q)階混合自我迴歸與移動平均過程(MixedAutoregressive-MovingAverageProcessofOrder(p,q),ARMA(p,q))，其形式為qtqtttptptttaaaaXXXCX......22112211(6)前述所討論的AR、MA或ARMA模型，均為常用的平穩時間序列模型，然而在一般應用上，甚少為平穩的時間序列，多呈無固定水準之現象，此型資料即為非平穩時間序列。差分可被視為非平穩型時間序列變為平穩型的一種轉換，有時在處理非平穩時間序列時，可考慮自然對數)ln(tX或開根號tX的轉換。但差分次數不宜過多，過度的差分將使資料喪失實際含意而不易解釋，且會使序列的變異數變大，一般實務上通常以目測原始序列圖形的方法，來判斷圖形是否已達平穩的狀態，差分次數至多不超出兩次[葉小蓁，1998]。一般而言，欲獲得非平穩型時間序列之模式，係假設原始序列經d次差分後(0d)可轉為平穩型時間序列，再以前述ARMA模式擬合，如此之模式稱為(p,d,q)階之整合自我迴歸移動平均模型(AutoregressiveIntegratedMovingAverageModelofOrder(p,d,q)，ARIMA(p,d,q))，其中p表示為自我迴歸過程之階數，d為差分次數，q表示為移動平均過程之階數。已知若某序列的SACFkˆ值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水準內擺動，則顯示此序列為非平穩型，吾人需先將此序列差分直至序列,2,1,dXWtdt之SACF很快消失為止，此序列tW乃由tX經差分d次後達平穩，而此d值即為原始序列tX所需差分之次數，實務上通常2d[葉小蓁，1998]。5若原始序列經判斷為平穩型，則由Bartlett公式可決定SACF(SampleAutocorrelationFunction)於何處截斷，判定tX之模型MA(q)；若NttX1為一平穩的時間序列，由某一移動平均模型MA(q)產生，理論上0...21qq，則對樣本的SACF，期差kq大之後的kˆ具以下兩個漸進性質(Bartlett公式)：(1)N夠大時(N50)qjjkN12211)ˆvar(，qk(7)(2)kˆ的漸進抽樣分配為常態)ˆvar(,0~ˆkkN(8)由(7)式，qjjkN12ˆ211)ˆvar(被稱為SACFkˆ之大期差的標準誤差（Large-LagStandardErrorofkˆ，)ˆ(ˆk）。利用Bartlett公式（式(7)及(8)）可利用統計檢定的方式)ˆvar(ˆ111Z鑑定模型MA(q)之q值[葉小蓁，1998]。模型為AR(p)，1p的時間序列}{tX，SACF會呈退化的指數形式或阻尼正弦函數的相似特徵，故不易由SACF}ˆ{j來區分p值。為確定p值，吾人可利用偏自我相關係數（PartialAutocorrelations）來幫助判斷。由(5)式，將其改寫為tktkktktktaXXXX...2211(9)其中kk被稱為}{tX之第k期差（k-thlag）的偏自我相關係數，k=1,2,…；而1}{kkk被稱為偏自我相關函數（PartialAutocorrelationFunction，PACF）。由Cramer’s法則，可分別解：[Faires,J.&Burden,R.,2003]1116212121121122111111111121121312211133…1...1.................................1...1........................1...11321123111221132123111221kkkkkkkkkkkkkkk，3k(10)因每一kk為自我迴歸式AR(k)模型中，當},...,,{)1(21ktttXXX已進入模型時，Xt-k與Xt之偏相關係數，又Xt-k與Xt來自同一序列，因此而得偏自我相關係數之名。[葉小蓁，1998]設有一組時間序列NttX1}{其模型尚未被確知，致使其理論的ACF及PACF均未知，故分別以樣本的1}ˆ{jjSACF及1}{jjjSPACF（SamplePartialAutocorrelationFunction）估計理論值。欲鑑定單純的AR(p)模型，若僅用SACF不夠，尚須考慮SPACF的顯著性以判定階數p；故在應用上以Quenouille的公式以求出SPACF，1}{jjj之截點；設NttX1}{為一平穩的時間序列，由某一自我迴歸模型AR(p)產生，其PACF理論值中，0kk，1pk，則對於樣本SPACF，1}{jjj中，期差k大於p之後的kk具有以下兩個漸進性質：7(1)當N夠大時（N50）Nkk1)ˆvar(，1pk。(9)(2)kkˆ的漸近抽樣分配為)1,0(~ˆNNkk，1pk。(10)由(9)式可知，1,1)ˆ.(.pkNESkk，被稱為SPACF1}{jjj之大期差的標準誤差（Large-LagStandardErrorofkkˆ）。依上所述，可以統計檢定的方式()ˆ.(.ˆiiiiiiESz)逐步檢定1}{jjjPACF之顯著性[葉小蓁，1998]。將上述ACF與PACF的特徵合併，列為下表表一：表一ACFPACFMA(q)截斷於q期之後成指數或阻尼正弦函數消失AR(p)成指數或阻尼正弦函數消失截斷於p期之後ARMA(p,q)成指數或阻尼正弦函數消失成指數或阻尼正弦函數消失臺灣一等水準網台灣地區於民國89～91年間，以新型電子式精密水準儀施測一等水準網，共計有2065個一等水準點，分佈於4253公里之水準路線上，並同時進行GPS衛星定位測量與重力測量等工作，進而建立新的台灣高程基準(TaiwanVerticalDatum,TWVD2001)。一等一級水準網於民國89年12月至90年9月間