数值分析(解答)1

1华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：___________________________课程类别考核形式学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________学号__________________姓名__________________任课教师___________________一、填空题（每空2分，共20分）1、计算2000110021100111000y，给出了两种运算顺序，（A）从左到右相加，（B）从右到左相加，应选择运算顺序（B）可使计算结果接近于真值。2、由1n个插值条件是否可唯一确定一个次数不超过n的插值多项式？（不一定）3、在[-1，1]区间上，令)()(1ininxxx，则点ix应取为（n次chebyshev多项式的零点），可使|)(|max11xnx达到极小。4、设0)(kkxq是区间[0，1]上权函数为xx)(的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0xq，则10)(dxxxqk0,00,21kk，)(2xq103562xx。5、Newton-cotes求积公式的精确程度是否一定能随着其代数精度的提高而提高？（不一定）6、用显式Euler法解初值问题0)0(,10yyyy，为保证绝对稳定性，步长h应在范围（0，0.2）内选取。7、设A是一个正交矩阵，则)(2Acond=（1）。8、设11001aaaaA，当a)21,21(时，必有分解式TLLA，其中L为下三角□公共课□专业课□开卷□闭卷数值分析2007.5.28√√2矩阵，当其对角线元素)3,2,1(ilii满足条件0iil时，这种分解是唯一的。二、（15分）求一个次数不高于4的多项式)(xP，使它满足0)0()0(PP，1)1()1(PP，1)2(P，并写出其余项表达式。解：构造重节点的差商表xy差商一二三四0011200111011010-1-12141故22224)1(41)1(110)(xxxxxxP22222)3(41)2()1(41xxxxxx其余项表达式为：)2()1(!5)()(22)5(4xxxfxR，)2,0(三、（10分）求a，b使dxxbax202]sin[达到最小。解：由于题中积分达到最小，实际上是在]2,0[上求xspanbaxx,1)(*，使其成为xsin的最佳平方逼近多项式，故ba,满足正规方程组：)sin,(),(),()sin,(),(),(1110101000xabxab其中2),(00，8),(210，311)2(31),(，1)sin,(0x，1)sin,(1x3故有：1248182322abab解得6644389.0a，1147707.0b四、（10分）求122)(23xxxxf在[-1，1]上的二次最佳一致逼近多项式。（注：Chebyshev三次多项式为xxxT34)(33）解：设所要求的二次最佳一致逼近多项式为22)(HxP，依题意，必有：min|)()(|max|)()(|maxmin21111)(2xPxfxPxfxxHxp即有：min|)(21)(21|max211xPxfx由于)(21)(212xPxf是首一的三次项式，因此，据Chebyshev多项式的性质（Th3.6）可知)34(41)(21)(~)(21)(2133232xxxTxTxPxf从而121232)()(232xxxxxfxP五、（10分）作适当变换，把积分202)2(1dxxxxI化为能应用n点Gauss-Chebyshev求积公式的积分。当n取何值时，能得到积分的准确值？并计算它。解：令120220.2ttx，则112212dttttI能应用Gauss-Chebyshev求积公式，由于n点Gauss-Chebyshev求积公式的代数精度是12n，tttf2)(2是二次多项式，因此应用两点以上)2(n的Gauss-Chebyshev求积公式便可得到积分的准确值，据两点Gauss-Chebyshev求积公式，)]43(cos)4(cos[2ffI42)]22(2)22()22(2)22[(222六、（10分）证明：线性二步法])13()3[(41)1(1111nnnnnfbfbhbyyby当1b时方法为二阶的，当1b时方法为三阶的。解：设)(nnxyy，)(11nnxyy)()()1(31)()()]133(816161[)()]133(412121[)()]13(41)3(411[)()11()]()(2)()()[13(4)]()(2)()()[3(4)]()(4)(2)()([)()1()()(!3)(2)()()()13()(]3[4)()()1()()(4343232324324321111111hxyhbhxyhbbbxyhbbbxyhbbbxybbhxyhxyhxybhhxyhxyhxybhhxyhxyhxyhxybxybhxyhxyhxyhxyxybxybhxbyxybxyyxyTnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn则当1b时，)(31hTn，故方法为二阶的，当1b时，)(41hTn，故方法为三阶的。七、（15分）设线性方程组bAX的系数矩阵为：410143034A问求解此方程组的Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代是否收敛？为什么？SOR方法中的松驰因子的最优选择为多少？试比较Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代以及SOR方法的收敛速度。（对称正定三对角矩阵，最优松弛因子公式2]][[11(2TpotB）5解：不难验证A是否定对称的三对角矩阵，由025.0025.0075.0075.00)(1ULDBJ)625.0()det(2JBI得列790.0625.0)(JB，由定理6.26知625.0)(GB，因1)(jB，SOR方法最优松驰因子为1)(GB，故Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代均收敛。24.1625.0112opt而24.0)(wH，因)()()(jGBBH可见采用最优松驰因子的SOR方法收敛速度比Jacobi迭代和G-S迭代收敛速度快得多，而G-S迭代又比Jacobi迭代收敛速度快。八、（10分）证明简化Newton公式，)()(01xfxfxxnnn，n,2,1,0收敛的一个充分条件是：)10(,1)()(10LLxfxfL；又设)(xf在],[ba内有单根*x，证明|||)(|1|*|10nnnxxxfmxx，其中|)('|minxfmbxa。解：令)()()(0xfxfxx，则|1|)(Lx（在*x的领域内）是)()(01xfxfxxnnn收敛的一个充分条件，即1|)()(1|0Lxfxf即得LxfxfL1)()(100，或LxfxfL11|)()(|110因而，只要对给定的0x，存在10L，使对任何],[bax，上式都能成立的话，简单Newton法就收敛，再由0*)(xf，0*)(xf，有6)(*))(()(*)()()()(0001xfxxfxfxfxfxfxfxxnnnnn，介于nx与*x之间。这样)()()(*10nnnxxgfxfxx所以|||)(|1|||)()(||*|1010nnnnnxxxfmxxfxfxx