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-1-5.1.4用样本估计总体课标阐释思维脉络1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征(重点).2.能用样本的分布来估计总体的分布(难点).3.通过利用样本的数字特征及频率分布来估计总体培养学生的直观想象与逻辑推理能力(目标素养).课前篇自主预习一二一、用样本的数字特征估计总体的数字特征1.填空.(1)众数、中位数、平均数的定义①众数:一组数据中重复出现次数最多的数.②中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(2)标准差用如下公式来计算标准差:③平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么𝑥=1𝑛(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数.s=1𝑛[(𝑥1-𝑥)2+(𝑥2-𝑥)2+…+(𝑥𝑛-𝑥)2].课前篇自主预习一二(3)方差标准差的平方s2叫做方差.s2=1𝑛[(x1-𝑥)2+(x2-𝑥)2+…+(xn-𝑥)2].2.做一做:已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.答案:90解析:由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.课前篇自主预习一二二、用样本的分布来估计总体的分布1.填空.分布的估计一般也有误差,如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在每一组的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,1𝑛∑𝑖=1𝑛(πi-pi)2=1n[(π1-p1)2+(π2-p2)2+…+(πn-pn)2]不等于零.课前篇自主预习一二2.三种数字特征与频率分布直方图有何关系?提示:众数众数是最高长方形的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数(1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;(2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和;(2)平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测众数、中位数、平均数的简单运用例1某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表:(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:对实际问题的分析评价,不仅要依据数据的数字特征,还要综合考虑数据分布的影响,养成从多角度看问题的习惯.解:(1)平均数𝑥=1500+4000+3500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×2033≈1500+591=2091(元),中位数是1500元,众数是1500元.(2)新的平均数是𝑥'=1500+28500+18500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×2033≈1500+1788=3288(元),新的中位数是1500元,新的众数是1500元.(3)在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟特征数字的应用技巧1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,当一组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势,当一组数据中有不少数据重复出现时,其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时,可采用新数据法,即当所给数据在某一常数a的左右摆动时,用简化公式:𝑥=𝑥'+a.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75m.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70m;这组数据的平均数是故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m.成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111𝑥=117(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=28.7517≈1.69(m).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平均数和方差的运用例2甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.分析:(1)作茎叶图时要注意区分样本数据的“茎”和“叶”,一般情况下,茎叶图的“叶”为样本数据的最后一位数,将样本数据的更高次位数字作为茎叶图的“茎”;(2)要从平均数及方差两方面对学生进行评价.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)作出茎叶图如下:(2)派甲参赛比较合适.理由如下:𝑥甲=18(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,𝑥乙=18(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,𝑠甲2=18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,𝑠乙2=18[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为𝑥甲=𝑥乙,𝑠甲2𝑠乙2,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟计算方差及标准差的步骤(1)求样本数据的平均数𝑥;(2)求每个样本数据与样本平均数的差xi-𝑥(i=1,2,…,n);(3)求(xi-𝑥)2(i=1,2,…,n);(4)求s2=1𝑛[(x1-𝑥)2+(x2-𝑥)2+…+(xn-𝑥)2];(5)求s=𝑠2,即为标准差.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记录抽查数据如下(单位:kg):甲:10210199981039899乙:110115908575115110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间产品比较稳定.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:𝑥甲=17(102+101+99+98+103+98+99)=100,𝑥乙=17(110+115+90+85+75+115+110)=100,𝑥甲2=17[(102-100)2+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+(103-100)2+(98-100)2+(99-100)2]=17(4+1+1+4+9+4+1)≈3.43;𝑠乙2=17[(110-100)2+(115-100)2+(90-100)2+(85-100)2+(75-100)2+(115-100)2+(110-100)2]=17(100+225+100+225+625+225+100)≈228.57.所以𝑠甲2𝑠乙2,故甲车间产品较稳定.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测频率分布直方图与数字特征的综合应用例3某校从参加学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数;(2)求这次测试数学成绩的中位数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.40.5,因此中位数位于第四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.反思感悟1.利用频率分布直方图估计数字特征:(1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数左右两侧直方图面积相等.(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致.解:(1)众数为70+802=75.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究1若本例条件不变,求数学成绩的平均分.解:由题干图知这次数学成绩的平均分为延伸探究2本例条件不变,求80分以上(含80分)的学生人数.解:[80,90)分的频率为0.025×10=0.25,频数为0.25×80=20.[90,100]分的频率为0.005×10=0.05,频数为0.05×80=4.所以80分以上的学生人数为20+4=24.40+502×0.005×10+50+602×0.015×10+60+702×0.02×10+70+802×0.03×10+80+902×0.025×10+90+1002×0.005×10=72.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用频率分布直方图求参数典例从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a=0.03,后三组的频数之比为0.03∶0.02∶0.01=3∶2∶1,故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为18×=3.答案:0.033方法点睛(1)频率分布直方图中,每个矩形的面积表示相应组的频率;(2)在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1.16课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示,分数不低于a即为优秀,若优秀的人数为20人,则a的估计值是()A.130B.140C.133D.137答案:C解析:由已知可以判断a∈(130,140),所以[(140-a)×0.015+0.01×10]×100=20,解得a≈133.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下图所示茎叶图中数据的平均数为89,则x的值为()A.6B.7C.8D.9答案:B解析:茎叶图中的数据为86,80+x,90,91,91,由数据平均数为89得(86+80+x+90+91+91)=89,解得x=7.故选B.15课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.依据相关法律可知,车辆驾驶员血液中所含的酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的28800人进行血液检测,根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示,则这28800人中属于醉酒驾车的人数约为()A.8640B.5760C.4320D.2880课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C解析:由图可知,血液中酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上的频率为0.15,则人数为28800×0.15=4320.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.在某次高中学科竞赛中,4000名