2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数-列和答案

2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-1-/16考纲展示考情汇总备考指导(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.本章的重点是等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，难点是应用转化与化归的方法求数列的和，学习本章要熟练掌握数列的相关公式，并且注意数列与函数的异同点.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.2017年1月T102017年1月T162018年1月T152018年1月T202019年1月T142019年1月T17等差数列[基础知识填充]1．数列的概念及简单表示法(1)数列是按一定顺序排列的一列数．(2)如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可用一个式子(即an＝f(n))来表示，则这个式an＝f(n)叫数列的通项公式．(3)数列是一种特殊函数，是定义在正整数集(或它的有限子集)上的特殊函数．2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-2-/16(4)数列的表示方法有：①解析法(通项公式法)；②列表法；③图象法；④递推法．(5)an与Sn的关系式：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，n∈Z＋.2．等差数列(1)定义：an＋1－an＝d(常数)，这是证明一个数列是等差数列的依据，也可用2an＋1＝an＋an＋2(n∈Z＋)来判断．(2)公差为d的等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，另外，等差数列任意两项之间的关系为：an＝am＋(n－m)d.(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项，可以表示为A＝a＋b2.(4)前n项和公式Sn＝na1＋an2或na1＋12n(n－1)d(n∈N＋)．(5)等差数列的性质：①若公差d0，则{an}是递增等差数列．②若公差d0，则{an}是递减等差数列．③若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，当m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.④若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等差数列，且公差为n2d.[学考真题对练]1．(2019·1月广东学考)若数列{an}的通项an＝2n－6，设bn＝|an|，则数列{bn}的前7项和为()A．14B．24C．26D．28C[前7项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝|－4|＋|－2|＋|0|＋|2|＋|4|＋|6|＋|8|＝4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.]2．(2017·1月广东学考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，则{an}的前n项之和Sn＝()2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-3-/16A．n2＋1B．n2C．2n－1D．2n－1B[由已知可得{an}为首项为1，公差为2的等差数列，∴Sn＝na1＋nn－12d＝n＋nn－12×2＝n2.]3．(2018·1月广东学考)若等差数列{an}满足a1＋a3＝8，且a6＋a12＝36.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝an＋1－2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)设等差数列{an}的公差为d.∴a1＋a3＝8a6＋a12＝36⇒a1＋a1＋2d＝8a1＋5d＋a1＋11d＝36⇒a1＝2d＝2∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由(1)知，an＝2n，∴bn＋1＝an＋1－2an＝2(n＋1)－2×2n＝－2n＋2，∴bn＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，又∵b1＝2适合上式，∴bn＝－2n＋4(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝－2n＋2－(－2n＋4)＝－2，∴数列{bn}是首项为2，公差为－2的等差数列．∴Sn＝2n＋nn－12×(－2)＝2n－n2＋n＝－n2＋3n.等差数列中求值问题的方法1．求项与求和：关键是确定等差数列的首项a1，公差d，进而利用相关公式求解，同时注意利用等差数列的性质求解．2．方程与函数的思想：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋12n(n－1)d中共含有五个量：an，a1，d，Sn，n，知道其中三个量可利用公式构建方程(组)求出其余两个量，即“知三求二”；若涉及求等差数列前n项和的最值问题，则可把前n项和看作关于n的二次函数，利用函数的性质求解，此时注意n∈N＋.[最新模拟快练]1．(2019·珠海市学考模拟)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-4-/16于()A．15B．22C．7D．29A[设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，a6＝a1＋5d＝7，解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.]2．(2018·韶关市高一期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝()A．1B．2C．3D．5C[由a5＝9，S2＝4，得a1＋4d＝92a1＋d＝4，解之得a1＝1d＝2，即a2＝a1＋d＝3.]3．(2018·茂名市学考模拟)已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为()A．100B．210C．380D．400B[由a2＝7，a4＝15得2d＝a4－a2＝8，即d＝4，则a10＝a2＋8d＝7＋32＝39，S10＝12×10×(7－4＋39)＝210.]4．(2019·深圳市学考模拟)在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为()A．－14B．－7C．7D．14C[∵a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则4d＝28，解得d＝7.]5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝()A．41B．48C．49D．56C[设Sn＝An2＋Bn，由题知，S3＝9A＋3B＝9S5＝25A＋5B＝25，解得A＝1，B＝0，∴S7＝49，故选C.]6．(2019·揭阳市学考模拟)在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-5-/16()A．49B．50C．51D．52D[∵an＋1－an＝12，∴数列{an}是首项为2，公差为12的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)·12＝2＋n－12，∴a101＝2＋101－12＝52.]7．(2019·珠海市学考模拟)在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.190[S19＝19a1＋a192＝19a10＋a102＝19a10＝19×10＝190.]8．(2019·蛇口高一月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.13[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝13.]9．(2019·东莞市学考模拟)在等差数列{an}中，a2＝2，a4＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前5项和．[解](1)∵a4＝a2＋2d，∴4＝2＋2d，∴d＝1，∴an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n.(2)∵bn＝2n，∴b1＝2，b2＝4，b3＝8，b4＝16，b5＝32，S5＝2＋4＋8＋16＋32＝62.即数列{bn}的前5项和为62.等比数列[基础知识填充]等比数列(1)定义：an＋1an＝q(q为常数，且q≠0)，这是证明一个数列是等比数列的依据，还可用a2n＋1＝an·an＋2(n∈N＋，an≠0)来判断．(2)公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.另外：等比数列任意两项之间的关系为an＝am·qn－m(q≠0)．2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-6-/16(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，则可表示为G＝±ab.(4)等比数列前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.(5)等比数列的性质：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈Z＋)，则an·am＝ap·aq.特别地：当m＋n＝2p，则am·an＝a2p.②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等比数列(当Sn≠0时)，且公比为qn.[学考真题对练]1．(2017·1月广东学考)已知x0，且53，x,15成等比数列，则x＝________.5[∵53，x,15成等比数列，∴x2＝53×15＝25，又∵x0，∴x＝5.]2．(2018·1月广东学考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则a21＋a22＋…＋a2n＝()A．4(2n－1)2B．4(2n－1＋1)2C.44n－13D.44n－1＋23C[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2×2n－2n＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2适合上式．∴an＝2n(n∈N*)⇒a2n＝(2n)2＝4n，∴{a2n}是首项为4，公比为4的等比数列，∴a21＋a22＋…＋a2n＝41－4n1－4＝44n－13，故选C.]3．(2019·1月广东学考)在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝________.8[q＝a2a1＝2，a4＝a2·q2＝8.]2019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-7-/16等比数列中的基本计算在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．[最新模拟快练]1．(2019·揭阳市学考模拟)在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81B[由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]2．(2019·蛇口高一月考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于()A．11B．5C．－8D．－11D[由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.]3．(2018·佛山市学考模拟)数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前n项和等于()A．2n－1B．2n－1C．2n＋1D．2n＋1B[由题意知Sn＝1×1－2n1－2＝2n－1.]4．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)在各项为正数的等比数列{an}中，若a1·a4＝13，则log3a2＋log3a3＝()A．－1B．1C．－3D．3A[原式＝log3a2a3＝log3a1a4＝log313＝－1.]5．(2018·揭阳学考模拟题)设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝1，an＋1＝－2an(n∈N*)那么S1，S2，S3，S4中最小的是()A．S1B．S2C．S3D．S42019-2020广东学业水平测试数学复习讲义：第14章+数列和答案-8-/16D[S1＝a1＝1，S2＝1－2＝－1，S3＝S2＋a3＝－1＋4＝3.S4＝S3＋a4＝3－8＝－5，所以，S4最小．]6．(2019·深圳市学考模拟)若等比数列{an