沈阳工业大学数字电子技术第2章2

数字电子技术第二章逻辑代数基础2逻辑代数基础内容2.2逻辑代数的基本运算2.3逻辑代数的基本定理及规则2.4逻辑函数的性质2.5逻辑函数的化简2.1逻辑代数中的几个概念数字电子技术2.4逻辑函数的性质2.4逻辑函数的性质逻辑函数表达式与逻辑图有直接关系表达式越简单，实现该逻辑函数所需的逻辑关系就越少，这样即节省集成电路数目，焊接点又少，大大提高电路的可靠性需要对逻辑函数进行化简数字电子技术2.4逻辑函数的性质2.4逻辑函数的性质用单一的与非门可以实现三种基本逻辑运算：复合逻辑1与非逻辑⑴它是“与”和“非”的复合逻辑，表达式为：BAFABF001011101110＆ABFABF与非门逻辑符号数字电子技术2.4逻辑函数的性质＆ABF2＆非运算BABABABAF2与运算AAAF1或运算BBAABABABAF3＆＆＆ABF3＆AF1与非逻辑⑴①②③数字电子技术复合逻辑2.4逻辑函数的性质1或非逻辑⑵或非逻辑是“或”和“非”的符复合逻辑，它与“与非”逻辑互为对偶，它的逻辑表达式为BAFABF001010100110≥1ABFAB或非门逻辑符号F或非门可以有多个输入端，其逻辑功能是：只要输入端有一个为1时，输出必为0；只有输入端全为0时，输出才为1数字电子技术2.4逻辑函数的性质用单一的或非门可以实现三种基本逻辑运算≥1ABF3≥1≥1AF1≥1≥1≥1ABF2与运算BBAABABABAF2非运算AAAF1BABABABAF3或运算数字电子技术复合逻辑2.4逻辑函数的性质1与或非逻辑⑶与或非逻辑是“与”、“或”、“非”的复合逻辑，其表达式为：与或非门逻辑符号CDABF＆≥1ABCDFCDABF数字电子技术复合逻辑2.4逻辑函数的性质1异或逻辑⑷对于二输入变量问题，当二输入值相异时，输出为1；当二输入值相同时，输出为0二输入变量的异或表达式：BABABAF式中符号表示异或运算。它的逻辑功能可用下列真值表说明数字电子技术异或逻辑2.4逻辑函数的性质⑷异或逻辑有下列等式：异或运算的逻辑功能可用下列真值表说明ABF000011101110=1ABABFF1A0AAAAAA01A数字电子技术复合逻辑2.4逻辑函数的性质1同或逻辑⑸对于二输入变量问题，当二输入值相同时，输出为1；当二输入值相异时，输出为0二输入变量的同或表达式：式中符号⊙表示异或运算。它的逻辑功能可用下列真值表说明BABABAF⊙数字电子技术同或逻辑2.4逻辑函数的性质⑸同或运算的逻辑功能可用下列真值表说明ABF001010100111=1ABABFF数字电子技术复合逻辑2.4逻辑函数的性质1异或逻辑与同或运算之间的关系⑹互补关系当n为偶数个变量时，有即：BABAB或ABA⊙⊙（偶数）AAAAAAAAn32n1321⊙⊙⊙⊙当n为奇数个变量时，有n32nAAAAAAAA1321⊙⊙⊙⊙数字电子技术2.4逻辑函数的性质异或逻辑与同或运算之间的关系⑹对偶关系⊙BABABABABABA)BABABA)B(ABA)B(ABABABA)B(A）同理也可证明（右边）（（）（左边证明：）（或即：⊙⊙⊙⊙数字电子技术2.4逻辑函数的性质异或逻辑与同或运算之间的关系⑹异或运算和同或运算的基本代数性质0—1律(a)A⊕0=AA⊕1=A(b)A⊙0=AA⊙1=A交换律(a)A⊕B=B⊕A(b)A⊙B=B⊙A分配律(a)A(B⊕C)=AB⊕AC(b)A＋(B⊙C)=(A＋B)⊙(A＋C)结合律(a)A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C(b)A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C调换律(a)若A⊕B=C则A⊕C=B，C⊕B=A(b)若A⊙B=C则A⊙C=B，C⊙B=A数字电子技术2.4逻辑函数的性质2.4逻辑函数的性质一个逻辑命题可以用多种形式的逻辑函数来描述逻辑函数的基本表达式2这些逻辑函数的真值表都是相同的，如果以函数式中所含的变量乘项的特点以及乘积项之间的逻辑关系来分类，逻辑表达式可以分成与或、或与、与非、或非、与或非、或与非等形式数字电子技术逻辑函数的基本表达式2.4逻辑函数的性质2与或式BABAF或与式)()(BABAF与非式BABAF或非式BABAF与或非式BABAF异或的五种表达式BAF数字电子技术2.4逻辑函数的性质2.4逻辑函数的性质一个逻辑命题的三种表示法逻辑函数的标准形式3真值表、逻辑表达式、卡诺图真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式：最小项之和最大项之积数字电子技术2.4逻辑函数的性质最小项和最大项⑴乘积项和项n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项CBACBAm0m100000101CBABCACBACBACABABCm2m3m4m5m6m7010011100101110111234567最小项：在逻辑函数中，有n个变量为A1~An，m是这n个变量的与项，若与项m是包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最小项二进制数十进制数编号最小项编号i，各输入变量取值看成二进制数，用1代表原变量，0代表反变量对应的十进制数。数字电子技术最小项和最大项2.4逻辑函数的性质最小项变量数的标明为了区别不同变量数n的相同最小项符号，可以给最小项符号mi加上一个上角标n，如刚才的可以写成⑴34m最小项的性质1在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为02同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即：mimj=0(i≠j)3全部最小项之和为1，即：120ii1mn001ABC000m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABABC1-n20iimF100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量最小项数字电子技术最小项和最大项2.4逻辑函数的性质性质4⑴若干个最小项之和等于其余最小项和之反例m3+m2=m0+m1，m0=m1+m2+m3ABm3m2m1m0000001010010100100111000最大项n个变量有2n个最大项，记作i。在逻辑函数中，有n个变量为A1~An，M是这n个变量的或项，若和项M包括全部n个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最大项编号i：把或项中的原变量记做“0”，反变量记做“1”，此二进制数所对应的十进制数就是其值。三变量的最大项CBACBAM0M100000101CBACBAM2M3M4M5M6M7010011100101110111234567CBACBACBACBA数字电子技术最小项和最大项2.4逻辑函数的性质最大项性质在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1;⑴同一组变量取值，任意两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大项之积为0，即120ii0Mn数字电子技术最小项和最大项2.4逻辑函数的性质最小项与最大项关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系⑴最小项的反是最大项；最大项的反是最小项即:mi=MiMi=miCBAm1CBAM1CBAm1如：1MCBA①数字电子技术最小项与最大项关系2.4逻辑函数的性质②若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。例：7531mmmm)7,5,3,1(Fiiim7531mmmmFiiMF;mF即：ikkimF;mF可推出：ikkikkiMmmF7531mmmm7531MMMM)7,5,3,1(iMii=m0+m2+m4+m6数字电子技术最小项和最大项2.4逻辑函数的性质最小项性质与最大项性质具有对偶性⑴例如，全部最小项之和恒等于“1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其他性质可以类推数字电子技术逻辑函数的标准形式2.4逻辑函数的性质3积之和表达式（与或表达式）⑵逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之为积之和表达式，也叫与或表达式最小项标准式（标准积之和表达式）F(A、B、C、D)DCBADCBADCBADCBA8510mmmm)8510(m4、、、解:式中的每一个乘积项均为最小项数字电子技术积之和表达式（与或表达式）2.4逻辑函数的性质⑵例求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式CBABA解：F(A、B、C)CBABACBABACBA)CC(BACBACBABCA123mmm)321(m3、、利用反演律利用互补律，补上所缺变量C数字电子技术积之和表达式（与或表达式）2.4逻辑函数的性质⑵ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项标准式从真值表找出F为1的对应最小项011331101551然后将这些项逻辑加ABCCABCBABCA7653mmmm)7653(m3、、、F(A、B、C)110661111771数字电子技术2.4逻辑函数的性质最小项标准式（标准积之和表达式）例：写出函数Y(ABC)=AB+BC+CA的最小项表达式。解：这是一个包含ABC三个变量的逻辑函数表达式，乘积项AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以AC)()()(BBCAAABCCCABYCBAABCBCAABCCABABCCBABCACABABC5367mmmm)7,6,5,3(3m利用重叠律A+A＝A数字电子技术2.4逻辑函数的性质最小项标准式（标准积之和表达式）写出函数Y(ABC)=A+BC的最小项表达式。)())((AABCCCBBAYBCAABCCBACBACBABCA70123mmmmm)7,3,2,1,0(3m利用重叠律A+A＝A练习ABCCBACBACBABCA数字电子技术2.4逻辑函数的性质最小项标准式（标准积之和表达式）练习函数Y=AB+BC的真值表如下，求函数Y的最小项表达式。ABCY00000011010101111000101111001110CBABCACBACBAY5321mmmm)5,3,2,1(3m数字电子技术2.4逻辑函数的性质最小项标准式（标准积之和表达式）反函数的最小项标准式ABCY00000011010101111000101111001110ABCCABCBACBAY7640mmmm)7,6,4,0(3m如果将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式函数Y=AB+BC的真值表如下，求函数Y的反函数最小项表达式。数字电子技术逻辑函数的标准形式2.4逻辑函数的性质3函数的最大项标准式⑶逻辑函数被表达成一系列和项这积，则称为和之积表达式，也称为函数的或与表达式，如果构成函数的或与表达式中的每一个项均为最大项，则称这种表达式为最大项标准式)CBAC)(B)((ACBAF如逻辑函数最大项表达式可由真值表直接写出，并且和真傎表一样，也具有唯一性用逻辑代数的基本定律和公式，也可将逻辑函数的其他表达式展开或