高中数学直线与方程精选题目(附答案)

高中数学直线与方程精选题目（附答案）1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．60°解析：选A∵A(2,0)，B(5,3)，∴直线AB的斜率k＝3－05－2＝1.设直线AB的倾斜角为θ(0°≤θ180°)，则tanθ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F(3m＋3，0)到直线3x－3my＝0的距离为()A.3B.3mC．3D．3m解析：选A由点到直线的距离公式得点F(3m＋3，0)到直线3x－3my＝0的距离为3·3m＋33m＋3＝3.3．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.4．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则()A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：选D依题意得：直线3x－y＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n＝－3，－mn＝tan120°＝－3，得m＝3，n＝1.5．直线y＝ax＋1a的图象可能是()解析：选B根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的截距同正负．6．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy()A．无最小值且无最大值B．无最小值但有最大值C．有最小值但无最大值D．有最小值且有最大值解析：选D线段AB的方程为x3＋y4＝1(0≤x≤3)，于是y＝41－x3(0≤x≤3)，从而xy＝4x1－x3＝－43x－322＋3，显然当x＝32∈[0,3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.7．已知直线x－2y＋m＝0(m0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－1D．2解析：选A由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝|m＋3|12＋－22＝|m＋3|5＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.8．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．23B．33C．32D．42解析：选C由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，故其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝62＝32.9．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为()A．y＝－12(x－3)B．y＝－12(x＋3)C．y＝12(x－3)D．y＝12(x＋3)解析：选B因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－12.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－12(x＋3)，选B.10．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为()A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0解析：选C由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝2－4－3－3＝13，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.11．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是()A．(2,0)或(4,6)B．(2,0)或(6,4)C．(4,6)D．(0,2)解析：选A设B点坐标为(x，y)，根据题意知kAC·kBC＝－1，|BC|＝|AC|，∴3－43－0×y－3x－3＝－1，x－32＋y－32＝0－32＋4－32，解得x＝2，y＝0或x＝4，y＝6.12．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为()A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：选D依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，则有|－5k＋2|k2＋1＝|k＋6|k2＋1，因此－5k＋2＝k＋6，或－5k＋2＝－(k＋6)，解得k＝－23或k＝2，故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.13．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.解析：∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴12×－2m＝－1，∴m＝1.答案：114．若x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0三条直线交于一点，则k＝________.解析：∵直线x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0三条直线交于一点，解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，∴直线x＋ky＝0过点(－1，－2)，解得k＝－12.答案：－1215．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝2a－1＋a3－1－a＝a－1a＋20，得－2a1.答案：(－2,1)16．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为________________．解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1，∴12|ab|＝3，且－ba＝16，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为x－6＋y＝1或x6－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝017．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．解：(1)∵k＝tan135°＝－1，∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)设A′(a，b)，则b－4a－3×－1＝－1，a＋32＋b＋42－2＝0，解得a＝－2，b＝－1，∴A′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3,3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.解：设点P的坐标为(a,0)(a0)，点P到直线AB的距离为D.由已知，得S△ABP＝12|AB|·d＝123－12＋3－22·d＝5，解得d＝25.由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，所以d＝|a＋3|1＋－22＝25，解得a＝7或a＝－13(舍去)，所以点P的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点．(2)当－3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图)．若当－3x3时，直线上的点都在x轴上方，则需满足f－3≥0，f3≥0.即－3k＋2k＋1≥0，3k＋2k＋1≥0，解得－15≤k≤1.所以实数k的取值范围是－15，1.20．(本小题满分12分)已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若AB⊥BC，求实数m的值．解：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即m2－m－22＝1m－2，解得m＝1或1－3或1＋3.(2)由已知，得kBC＝m2－m－22，且xA－xB＝m－2.①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝1m－2，由kAB·kBC＝－1，得1m－2·m2－m－22＝－1，解得m＝－3.综上，可得实数m的值为2或－3.21．(本小题满分12分)直线过点P43，2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，由条件①可知，a＋b＋a2＋b2＝12.由条件②可得12ab＝6.又直线过点P43，2，∴43a＋2b＝1，联立，得a＋b＋a2＋b2＝12，12ab＝6，43a＋2b＝1，解得a＝4，b＝3.∴所求直线方程为x4＋y3＝1.22．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意，得|2k＋1|k2＋1＝2，解得k＝34.则直线方程为3x－4y－10＝0.故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而65，故不存在这样的直线.