因式分解讲义精讲

Page1of6教育教学讲义学员姓名：年级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：2课题因式分解教学目标讲解因式分解的三种方法1提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解教学内容课前检测知识梳理6.1因式分解谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．1．填空(整式乘法，因式分解)2．这两种运算是什么关系?(互逆)图示表示：因式分解．3．解决问题．现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)?：1012－992=-(101＋99)(101－99)Page2of6=200×2=400．那872＋87×13又该怎么算呢?思维拓展1.若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=,n=2．x2-8x+m=(x-4)(),且m=6.2提取公因式法计算（1）25×17+25×83（2）15.67×91+15.67×91）应用分配律，使计算简便（2）分配律的一般式a（b+c）=ab+ac在此应用的是ab+ac=a（b+c）（*）从因式分解的角度观察式（1）可以看作是因式分解（2）做法是把每一项中都含有的相同的因式，提取出来提取公因式法分解因式的步骤确定提取的公因式例：3ax2y+6x3yz归纳：公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数的）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂（3）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。用提取公因式法分解因式：3ax2y+6x3yz=3x2y（a+2xz）归纳：a、提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式b、提取的实质是将多项式中的每一项分别除以公因式3x2y指出下列各多项式中各项的公因式⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x(x-y)2-y(x-y)例1把下列各式分解因式：（1）2x3+6x2（2）3pq3+15p3q（3）－4x2+8ax+2x（4）－3ab+6abx－9aby（6）-3ab+6abx-9aby（7）322xxx()()1.把下列各式因式分解（1）axabxacxaxmmmm2213（2）aababaabba()()()32222（3）41222332mnmnmn（4）aababaabba()()()322222Page3of6分解因式：412132qpp()()分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，()()()()abbaabbannnn222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。探索：1.2（a-b）2-a+b能分解因式吗？2.分解因式xa-xa-1+xa-2拔高应用1已知x、y都是正整数，且xxyyyx()()12，求x、y。2化简：111121995xxxxxxx()()()…，且当x0时，求原式的值。3设x为整数，试判断1052xxx()是质数还是合数，请说明理由。注意要找到恰当的公因式。说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。用乘法公式分解因式思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。例1、分解因式：（1）x2-9；（2）9x2-6x+1。二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。例2、分解因式：（1）x5y3-x3y5；（2）4x3y+4x2y2+xy3。三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、分解因式：(1)4x2-25y2;(2)4x2-12xy2+9y4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、分解因式:(1)x4-81y4;(2)16x4-72x2y2+81y4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。例5、分解因式：（1）-x2+(2x-3)2;(2)(x+y)2+4-4(x+y).Page4of6六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。例6、分解因式：(x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。例7、分解因式：(x2+4)2-16x2.课堂练习1．平方差公式：a2－b2=______；如：x2－4=_______．2．36x2－81y2=9（）=9（）（）．3．（1）25a2－________=（5a+2b）（5a－2b）；（2）x2－14=（x－12）（）．（3）－21698125xy=（）2－（）2=________．4．若M－N=（－3a+2t）（－3a－2t），则M=_______，N=_______．5．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）2B．x2－xy+x2=（x－y）2C．1+4x－4x2=（1－2x）2D．4－4x+x2=（x－2）26．m2n2－2m2n+m2分解因式得（）A．（mn－m）2B．m2（n2－2n+1）C．m（n－1）2D．m2（n－1）27．若x2+2（a+1）x+16是完全平方式，则a的值为（）A．3B．－5C．4D．3或－58．若x2－4x+a=（x－b）2，则a，b应满足（）A．a=1，b=1B．a=4，b=2C．a=4，b=－2D．a=16，b=49．分解因式：（1）a2－12a+116（2）a2x2－16ax+6410．分解因式：（1）－2x3+24x2－72x（2）－a4+2a2b2－b411．已知x+y=5，xy=3，求代数式x3y－2x2y2+xy3的值．因式分解的其他方法介绍1分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的Page5of6联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=))((banm例2、分解因式：bxbyayax5102练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例4、分解因式：2222cbaba练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa2222442换元法。有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例题1222)65)(67(xxxxx3添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）4323xx解法1——拆项。解法2——添项。原式=33123xx原式=444323xxxx（2）3369xxx练习15、分解因式（1）893xx（2）1724xx4待定系数法。例1、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622∴613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622Page6of6对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm∴原式=)32)(23(yxyx课堂练习1已知：xxxx12133，则__________（）（）131083108233315543222xxxxxaaaa()()（）（）323352476223xxyyxyxx知识总结学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；