4.4.3--不同函数增长的差异

4．4.3不同函数增长的差异1．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、指数函数、对数函数的增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实含义．3．通过体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养．(一)教材梳理填空函数y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)在(0，＋∞)上的增减性________________________________随x的增大函数图象保持增长逐渐与____平行逐渐与_____平行增长共同点在区间(0，＋∞)上，三种函数都是________速度的保持不变增长速度________增长速度________比较不同点存在一个正数x0，当x＞x0时，有ax0＞kx0＞logax0单调递增单调递增单调递增y轴x轴增函数越来越快越来越慢(二)基本知能小试1．判断正误(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)对任意的x＞0，kx＞logax.()(3)对任意的x＞0，ax＞logax.()(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝3xD．y＝e－x答案：A3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型答案：D4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________________．答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)题型一三类函数模型增长差异的比较[学透用活][典例1](1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2019xB．y＝x2019C．y＝log2019xD．y＝2019x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．[解析](1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案](1)A(2)y2[方法技巧]比较函数增长情况的方法(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢．(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异．(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这几个函数增长速度的差异．[对点练清]1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．答案：B2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.答案：A题型二函数模型的选择[学透用活][典例2]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．[方法技巧]几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[对点练清]某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．题型三不同增长的函数模型的图象特征[学透用活][典例3]函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．[方法技巧]由图象判断一次函数、指数函数和对数函数的方法根据图象判断增长型的一次函数、指数函数和对数函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[对点练清]1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y12.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t0.1时，由1＝1160.1－a，得a＝0.1，则当t0.1时，y＝116110t－.故y＝10t，0≤t≤110，116t110－，t110.(2)由题意可知，116110t－0.25，得t0.6.答案：(1)y＝10t，0≤t≤110，116t110－，t110(2)0.6[课堂思维激活]一、应用性——强调学以致用1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.累积天数收益方案1234567891011…一4080120160200240280320360400440…二103060100150210280360450550660…三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8…∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．二、创新性——强调创新意识和创新思维2.已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(单位：km)和运动时间x(单位：h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：①甲、乙运动的速度相同，都是5km/h；②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4km/h；④当甲、乙运动了3h后，甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km处．其中正确的说法是()A．③B．①②③C．①③④D．②③④解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5h，因为甲的速度为5km/h，乙的速度为4km/h，所以开始运动相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3h后，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)．又因为乙是从甲前方5km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3km，但乙在甲前方2km处；所以④正确．答案：D“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十七）”(单击进入电子文档)谢谢观看