不定积分

一、不定积分的概念和性质dxxf)(定义在区间内，函数的带有任意常数项的原函数，称为在区间内的不定积分，记为)(xfI)(xfI任意常数被积表达式积分号积分变量CxFdxxf)()(1.不定积分的概念nnxxnn)11(11时，当Cxndxxnn111xxx1ln0时，当Cxdxxln1解:dxx1例2求解:例1求)1(ndxxn例3设曲线任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍（1）求此曲线方程。（2）若曲线通过（1,2），求此曲线方程。为任意常数）。CCxxdxxf(2)(2解：（1）设曲线方程为)(xfy根据题意知xdxdy2即是的一个原函数.由于)(xfx2故,2)(2xx,C1所求曲线方程为12xy显然，求不定积分得到一积分曲线族。函数的原函数的图形称为的积分曲线。)(xf)(xf（2）要从中选出通过点（1，2）的一条只需将条件代入上式，得2,1yx)1(1)2(1CxdxxCxxdxln32.基本积分公式dxx211)4(CxarctankCkxkdx()1(是常数)xdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotxdxsin)7(Cxcosxdxcos)6(Cxsindxx211)5(Cxarcsinxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexdxax)13(Caaxln例4求不定积分：Cxdxxdxxxdxxx1211)2(12112112155CxxCx6213132132解：(1)(2)(3)(4)dxxx5dxx41dxxx731dxexx22CxCxdxxdxx3144431141)1(（3）dxxx371Cxdxx13221322322Cx319193Cxx361193（4）dxedxexxx)2(222Ceex)2ln()2(22Cexx22ln22.)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(3.不定积分的性质1)2)3)dxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()()(2211221112ln2)2()()(xxCxdxxfxf例5已知，求解Cxdxxfx2)()(xf)(xf二、分项积分法定理1设，具有原函数，，是常数，则（3.6）（3.6）式称为分项积分公式，通过式(3.6)计算不定积分的方法称为分项积分法.dxxgbdxxfadxxbgxaf)()()]()([)(xf)(xgab例6求不定积分解(1)先把分子的因式展开并分项后,化为幂函数的代数和形式,再利用定理3.1得dxxx221)2(dxxx2)1()1(dxxx2411)3(dxxxx)1(21)4(222其中。由于是任意常数,故也是任意常数.今后求不定积分时,只需对每一个不定积分求出其一dxxx2)1(dxxxx)2(21212332122)32(252CxCxxCxxCxxxxx2345223212CCCC321,,CCCC个原函数,然后在总结果上加上任意常数.例如上例可以直接写为(2)被积函数中分子、分母的次数相同,可通过分子的增减项进行多项式的除法,即Cdxxx2)1(dxxxx)2(212123Cxxxxx234522dxxx221dxxx22111dxx)111(2（3)被积函数中分子的次数高于分母,利用多项式除法进行拆项,即dxxdx211Cxxarctandxxxxdxxx2222412)1)(1(11dxxx)121(22dxxdxdxx22112Cxxxarctan2313(4)当分母为两项的乘积时,把分子化为这两项的和,可将被积函数进行拆项,即例7求不定积分dxxxx)1(21222dxxxxx)1()1(2222dxxdxx22111Cxxarctan1xdx2tan)1(dxx2cos)2(2解(1)先利用三角恒等式变形,然后再求积分：(2)由三角恒等式,得dxxxx22cossin2cos)3(dxx2cos11)4(dxxxdx)1(sectan22Cxxdxxdxtansec22cos12cos2xxdxxdxx)cos1(212cos2)cos(21xdxCxx)sin(21(3)由于,因此(4)由于,因此xxx22sincos2cosdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121Cxtan211cos22cos2xxdxxxx22cossin2cosxdxxdx22cossinCxxtancot三、凑微分法定理2设具有原函数可导，则有（3.7）3.7)式称为凑微分积分公式,通过式(3.7)计算不定积分的方法称为凑微分积分法.(3.7)式又可改写为（3.8）(3.8)式也称为第一类换元积分公式.)(uf)(xu)())(()())((xdxfdxxxf)()()()]([xuduufdxxxf例8求.解被积函数是一个复合函数,由于,即.因此,作变换,得再将代回,即得xdx2cos,cos2cosuxxu2dxdu2dudx21xu2cuududuuxdxsin21cos2121cos2cosxu2.2sin212cosCxxdx例9求不定积分：(1)(2)解(1)由于,故将凑为,再利用公式(3.7),即得.(2)由于,故将凑为,再利用公式(3.7),即得dxx6)23(dxxex22Cxdxx776dx)23(21xdCxxdxdxx766)23(141)23()23(21)23(Cedxexxxdx22dxCedxedxxexxx22222例10求不定积分.解法一解法二解法三xdxxcossinxxdxdxxsinsincossinCx2sin21Cxxxdxdxx2cos21coscoscossinxdxxdxx2sin21cossinCxxxd2cos41)2(2sin41注意：上述三种解法的结果,形式上虽不一样,但它们的正确性都可以通过对各结果求导数（微分法）得到验证,即有例3.11求不定积分：(1)(2)(3)(4)xxCxCxCxcossin)2cos41()cos21()sin21(22dxxx1ln321xdxdxxex3)4(8xxdx解（1）（2）（3）由于,所以Cxxdxdxxx2)1(ln21)1(ln)1(ln1ln)21()21(2121313xdxxdxCxCx3232)21(43)21(2321xdxxd21Cexdexdedxxexxxx333332)3(322（4）例12求不定积分（1）（2）（3）（4）dxxxxxxdx)4()4(8878)4(81888xxdx888)411(4181dxxxCxx4ln32188)0(22axadx)0(22axadx)0(22aaxdxdxxx2451解（1）（2）2222)(11axdxaxadx2)(1)(1axaxdaCaxaarctan1222)(11axdxaxadx2)(1)(axaxdCaxarcsin（3）由于,所以)11(21122axaxaax.dxaxaxaaxdx)11(2122dxaxadxaxa121121axaxdaaxaxda)(21)(21Caxaaxaln21ln21Caxaxaln21（4）dxxdxxx22)2(91451)32()32(112xdxCx32arcsin当被积函数是由三角函数构成的表达式时，可利用三角恒等变形及凑微分法进行积分。例13求不定积分（1）（2）（3）解（1）类似可得xdxtanxdxcscxdxsecdxxxxdxcossintanxxdcoscosCxcoslnCxxdxsinlncot.（2）因为所以上述不定积分又可表为：2cos2sin2sincscxxdxxdxxdx2cos2tan2xxdx2tan2tanxxdCx|2tan|lnxxxxxxxxxcotcscsincos1sin2sin22cos2sin2tan2,Cxxxdxcotcsclncsc（3）例14求不定积分：(1)(2)解(1).xdxsec)2sin()2(cosxxdxdxCxx)2cot()2csc(lnCxxtanseclnxdx2sinxdxxcos5sin.)2cos(2122cos1sin2xdxdxdxxxdx)2(2cos4121xxddxCxx42sin2.（2)利用三角函数积化和差公式,有于是)]5sin()5[sin(21cos5sinxxxxxx)4sin6(sin21xxxdxxcos5sindxxx)4sin6(sin21Cxx4cos816cos121四、换元积分法dxxf)(凑微分法是通过中间变量将积分化成,下面要介绍的换元积分法是通过变量代换将积分化为积分)(xudxxxf)()]([duuf)()(txdtttf)()]([证：设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf)(1t)()()]([)(xtdtttfdxxf定理3设是单调的、可导的函数,并且，又设具有原函数，则有换元公式)(tx0)(t)()]([ttf)(t)(tx其中是的反函数。（2）式为第二类换元积分公式CxFdxxf)()(Cx)]([）（2)()]([)()(xtdtttfdxxf)]([tf)(xf这说明为的原函数。)(xf)(xF1.被积函数含有根式或例15求解由于被积函数中含有根式,不便于直接作积分运算.为了去掉根号,可设,即,则.于是nbax)0(andcxbaxdxx1211xtx121txtdtdx2dttttdttdxx2222221121Cttdtt|2|ln422212回代，则例16求.解为了同时消去被积函数中的两个根式与,作代换,则,于是1xtdxx121Cxx12ln412)1(3xxdxx3x6txdttdx56)1(3xxdxdtttttdtt2223516)1(6dtt)111(62Ctt)arctan(6Cxx)arctan(666例17求解为了去掉根号,可以设,于是从而所求积分为d