抽象函数终极讲义(学生)

1抽象函数教学目标：1.掌握由具体函数模型来解决抽象函数问题;2.掌握用赋值法来解决抽象函数求值与奇偶性问题；3.掌握抽象函数单调性的常规方法。知识梳理：1．抽象函数：没有给出具体解析式，只给出它的一些特征或性质的函数称为抽象函数.2．常见的抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下：基础自测：1.定义在R的上的函数()fx满足()()()fxyfxfy(,)xyR，当0x时，()0fx，则函数()fx在(,]ab上（）A.有最小值()faB.有最大值()faC.有最小值()fbD.有最大值()fb2.已知函数()fx满足(1)2,f且对任意,xyR都有()()()fxfxyfy，记121niniaaaa，则101(6)ifi.3.设()fx是定义在(0,)上的增函数，且()()()xfxffyy，若(2)1f，则(8)f．典例剖析：考点１：正比例型抽象函数【例1】定义在R的函数()fx满足()()()fxyfxfy(,)xyR，且当0x时，()0fx．（1）求证：()fx为奇函数；（2）求证：()fx是R上的增函数．考点２：指数型抽象函数【例2】定义在R上的函数()fx满足：对任意实数,mn，总有()fmn()()fmfn，且当0x时，0()1fx．（1）试求(0)f的值；（2）求证：对任意的xR，恒有()0fx；（3）判断()fx的单调性，并证明你的结论．抽象函数的性质特殊函数模型①()()()fxyfxfy②()()()fxyfxfy正比例函数()(0)fxkxk①()()()fxyfxfy②()()(()0);()fxfxyfyfy指数函数()(0,1)xfxaaa①()()()(0,0);fxyfxfyxy②()()()(0,0);xffxfyxyy对数函数()log(0,1)afxxaa①()()()fxyfxfy②()()(()0);()xfxffyyfy幂函数()nfxx2【变式】在例2条件下若若f(1)=21，解不等式f(3x－x2)＞41．考点３：对数型抽象函数【例3】已知)(xf是定义在(0,)上的函数，并且对任意的0,0yx，)()()(yfxfxyf总成立，且当1x时，()0fx．（1）求(1)f的值；（2）求证：()fx在(0,)上是增函数．【变式】已知函数()fx定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，()()()fxyfxfy（1）证明：f(1)=0；(2)求f(16)；（3）若()fx+f(x-3)≤1，求x的范围；考点4：幂函数型抽象函数【例4】已知函数()fx对于一切正实数x、y都有()()()fxyfxfy且x＞1时，()fx＜1，f(2)=91(1)求证：()fx＞0；（2）求证：()fx在（0，+∞）上为单调减函数（3）若()fm=9，试求m的值。小结：1．对于选择、填空题可借助抽象函数的特殊模型进行分析．2．对于抽象函数的单调性的证明要善于挖掘已知条件进行构造，如：①已知0x，()fx的取值情况：需构造21()fxx，其中210xx．②已知0x，()fx的取值情况：需构造12()fxx，其中120xx．③已知1x，()fx的取值情况：需构造21()xfx，其中211xx．④常见的构造：1122()[()]fxfxxx，2211()[()]fxfxxx，2211()()xfxfxx．练习：1.对任意整数yx,函数)(xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1)1(f，则)8(f（）A.-1B.1C.19D.432．定义在区间[-2,2]上的函数()fx满足：()()fxfx，且()fx在[0,2]上为增函数，若(2)(31)0fmfm恒成立，则实数m的取值范围是．3.已知函数()fx是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,xy,都有()()()fxyfxfy成立.则不等式2(log)0fx的解集是___________.4.函数()fx对于x0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()ffxyfxfyfx是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若()(3)2fxfx成立，求x的取值范围。;5.已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有1()()()2fmnfmfn,且1()02f,当12x时,()fx0.(1)求(1)f;(2)判断函数()fx的单调性,并证明.