相似常见题型

1图形的相似模块一成比例线段1.线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段，的长度分别为，，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即：。其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么，或.2.比例的性质：基本性质：反比性质：更比性质:合比性质：分比性质：合分比性质：等比性质：（其中k为正整数，且b1＋b2＋b3＋……＋bk≠0）21.若，则ab＝;2.已知，则＝.4.已知457xyz，则下列等式成立的是()A．19xyxyB．716xyzzC．83xyzxyzD．3yzx2.已知a，b，c为非零的整数，bcacabkabc，求k的值.已知，则.12acebdf42284acebdf135ababab23abb3模块二三角形相似的判定1.两角分别相等的两三角形相似如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB。若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为.2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E。求证：△ABD∽△CBE.3.如图，点在等边的边上，为等边三角形，与交于点.证明：.除了外，请写出图中其他所有相似的三角形.DABCADEDEACF1ABDDCF∽2ABDDCF∽44.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ。（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值。（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值。（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上。如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证△ABF∽△CAF．5如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD。（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由。（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长。（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长。（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？6如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．2.两边成比例且夹角相等的两三角形相似1.如图，若给出下列条件：（1）∠B=∠ACD；（2）∠ADC=∠ACB；（3）ACABCDBC；（4）2ACADAB。其中能独立判定△ABC∽△ACD的条件有（）。A:4个B:3个C:2个D:1个2.如图所示,两对角线AC,BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形,若OA:OC=OB:OD=1:2,则此四个三角形的关系,下列说法中,正确的是()A.甲、丙相似,乙、丁相似B.甲、丙相似,乙、丁不相似C.甲、丙不相似,乙、丁相似D.甲、丙不相似,乙、丁不相似73.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长.4.已知,如图,,求证:.ABDEBCBADBCEDEBABC∽8如图，和为等边三角形，、分别为两个等边三角形的高，求证：AFGACE∽如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B。射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADDFACCG。（1）求证：△ADF∽△ACG。（2）若12ADAC，求AFAG的值。ABCADEAFAG9如图,△ACB为等腰直角三角形,点D为斜边AB上一点,连CD,DE⊥CD,DE=CD.连AE.求证:（1）△ACF∽△EDF;（2）△AFE∽△CFD;（3）AE∥BC;（4）ACE∽△OCD10如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC．求证：（1）△ADE∽△CDA；（2）∠ADB＋∠AEB＋∠ACB＝90°．如图,A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上.(1)判断△PBA与△ABC是否相似,并说明理由;(2)求∠BAC的度数;(3)在线段BC所经过的格点上是否存在一点Q(点P除外),使得以A、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请标出点Q的位置,并证明;若不存在,请说明理由.11已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为(____)，∠BMC=(____)（用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC=(____)（用α表示）．123.三边成比例的两三角形相似如图,四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的为()A.(1)(3)B.(1)(2)C.(2)(3)D.(2)(4)4.如图，点的坐标分别是，以为顶点的三角形与相似，你能找出几个点ABCD、、、1,71,14,16,1，，CDE、、ABCE13总结二、相似的基本图形【模型一】金字塔模型【模型二】8字或X字型模型【模型三】双垂直模型14【模型四】一线三等角【模型五】旋转型15模块三利用相似三角形测高1.兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为米.2.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）。A:（6+3）米B:12米C:（4-23）米D:10米163.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD.（结果精确到0.1m）4.小红家的阳台上放置了一个晒衣架.如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm.求垂挂在衣架上的衣物的总长度小于多少时，才不会拖落到地面上？17模块四相似三角形的基本题型根据相似求线段长如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1。连接AI，交FG于点Q，则QI=_____。已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC,CD上的点,且EF∥BD,AE、AF分别交BD与点G和点H,BD=12,EF=8.求:(1)DFAB的值;(2)线段GH的长.18在矩形ABCD中，点E是BC边的中点，点F，G分别在AB，CD上，且FEG=90°，若BF=1，CG=3，试求FG的长。如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．19如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则线段的长为.ABCD12AB8ADABCCDFADECGBE⊥G=2EFCG20如图，在菱形中，2AC,相交于点．（1）求边的长；（2）如图，将一个足够大的直角三角板角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板角的两边分别与边，相交于点连接与相交于点．①判断是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点为边的四等分点时，求的长．1ABCD23BDACBD，，OAB260ABCDAA60BCCDEF，，EFACGAEFEBCBECE（＞）CG21已知直线1234llll∥∥∥，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，，求如图，在矩形纸片中，，，点是中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点与点重合，如图，折痕为，连接、；则ME；第二次折叠纸片使点与点重合，如图，点落到处，折痕为，连接，则=.hABCD4AB6BCBE1ABCD83AB10ADECDAE2MNMENENE3B,BHGHEEN22如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交、于两点．若，则线段的长为.求线段的比值如图,在△ABC中,E,F是边BC上的两个三等分点,D是AC的中点,BD分别交AE,AF,AC于P,Q,D,求（1）BP:PQ:QD（2）AP:AE（3）AQ:FQABCDACBDOACBABCDMN、2AMON23在△ABC中，AD：BD=1：1，AE：CE=1：2，BE与CD交于点P，则BP：PE=（）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且CD:AD=1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F。若AB=15，则EF=_____。如图,AD为△ABC的中线,13AEAD,BE交AC于点F,DH∥BF,则AFCH=.如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC.（1）△ABC和△BCD相似吗？（2）证明2ADDCAC（3）求AD:AC（4）若51AC24以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)求证:2AMADDM;(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?如图,在矩形ABCD中,点E为AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,点G恰好在矩形ABCD的对角线AC上,延长BG交CD于F,连接EF.求BEEF的值.25如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且ACEFBCFD，DG∥AB，求证：AD=EB。找相似三角形的组数如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）。A:2对B:3对C:4对D:5对如图,在△ABC中,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,则图中相似三角形共有()A.5对B.6对C.7对D.8对如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有________对．26如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，M