塑性力学简单弹塑性问题

1简单弹塑性问题2一、直梁的弹塑性弯曲1.梁的纯弯曲MMxzo/2h/2h()byy等截面梁，y轴是横截面的对称轴，x是梁的纵轴，纯弯曲发生在xoy平面内。3中性层中性层曲率半径：dxdθρ=1ρεy=纤维的正应变：对弹塑性问题仍然适用基本假设平截面假设：横截面保持平面；与挠曲的轴线垂直单向受力：梁各纵向纤维之间无相互作用0≠xσ4yIMz=σ线弹性正应力分布：zEIM=ρ1当上下边缘应力达到屈服极限：eMM？上下边缘出现塑性区，截面上弹性区、塑性区共存szehIMσσ==2maxeM弹性极限弯矩221hhEsseεσρ==eρ弹性极限曲率半径5)(εσΦ=塑性本构关系：截面上的应力分布情况:()()yssssyyyyyyσσε⎧≤⎪=⎨⎪Φ≥⎩梁截面的平衡条件：()()()()/2/2/2/20,hhhhybydyyybydyMσσ−−==∫∫σsysy−+sσsσ−−+ρεy=ssEyσρ=1中性层曲率：6sysy−+sσsσ−∫⋅⋅=202hydAMσ∫∫⋅⋅+⋅⋅=2022hyyssydAydAσσ∫⋅⋅Φ+=2)(2)(hyezsydAAIEερ∫⋅⋅Φ+=2)(2)(hyezsssydAAIyεσ‰理想弹塑性材料、矩形截面hb×sσεσ=Φ=)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=psezsSyAIM)(σ332)(sezybAI⋅=)4(22spyhbS−=其中：72)2(2123hyMMse−=2)(2123eeMMρρ−=eMMρρeeMM=eMM≤ρρeeMM115.10塑性极限弯矩23=epMM0=sypM弯矩与曲率(曲率半径)8σsσsεεEFO‰线性硬化弹塑性材料、矩形截面hb×⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=Φ=)1(1)(ssEFεεσεσ∫⋅⋅Φ+=2)(2)(hyezsssydAAIyMεσssyy=εερρρρeeeEFEFEFMM+−+−=)1(23))(1(212sysy−+sσsσ−yzo/2h/2h塑性区弹性区塑性区90=F当即理想弹塑性2)(2123eeMMρρ−=当1eρρ2)(eρρ高阶小量ρρeeEFEFMM+−≈)1(23ρρeeMM11010残余应力、残余变形sysy−+sσsσ−σ−+σ++−−*σ理想弹塑性材料的矩形截面梁卸载前的应力、应变：σε卸载过程应力改变量：yIM=σ残余应力：σσσ−=*−+ρεy=sε112.等截面梁的横向弯曲()()()()(),ssssyyyxyxxyyyxσσε⎧≤⎪=⎨⎪Φ≥⎩在时在时•弯矩是变化的)(xMM=•存在剪应力例题：均布荷载作用下的理想弹塑性材料矩形截面简支梁忽略剪应力对屈服的影响12xyllqx()0sy()syx/3l•截面弯矩：()224143ssyxbhMhσ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦•外荷载引起的弯矩()()222qMxlx=−•弹、塑性区交线22221syxAB−=)(xyyss=13•梁的弹性极限荷载eq0x=/2syh=223sebhqlσ=•梁的塑性极限荷载pq0x=0sy=222spbhqlσ=/1.5peqq=332,122eeqhqABlqq=−=−其中：梁中截面全部进入塑性状态，几何可动塑性铰:14™塑性铰的两侧截面无限地转动，曲率无穷，挠曲线在该截面不光滑。™塑性铰承受弯矩。3.截面的塑性极限弯矩+A−A−c+cyz截面上的应力为sσ±合力为零0=−−+ssAAσσ−+=AA塑性极限状态下，中性轴为截面面积的平分线15™弹性变形时，中性轴必过截面的形心™如果截面的形心轴不平分截面面积，则弹性极限状态和塑性极限状态的中性轴不重合。z中性轴弹性范围：hh32'=弹性极限弯矩：sebhMσ2241=塑性极限：hh22'=塑性极限弯矩：spbhMσ2622−=yzbh'h等腰三角形截面16θzxyozTTθxyorR二、圆杆的弹塑性扭转1)直径在变形过程中没有弯曲及伸缩2)变形后截面仍为平面，任意两个截面距离不变而只发生相对转动变形的基本假设：17横截面上任意一点的位移矢量是在横截面内并且垂直于该点的半径几何关系：r⋅=αγ平衡方程：∫⋅⋅⋅=RrdrrT02πτ弹性关系：γτ⋅=Gαπ24GRT=‰弹性范围不为零的应力应变：θγzθτzzruαθ=不为零的位移分量：18弹性范围弹性极限：Rr=sγγ=Rseγα=eeTTαα=eeGRTαπ24=seRTτπ23=19xyoRsrsγγ弹性塑性xyoRsrsττ弹性塑性‰理想弹塑性eTT几何关系：r⋅=αγsrr=sγγ=ssrγα=serR=αα弹塑性区界面：本构关系：弹性区：塑性区：γτG=sττ=弹塑性20弹塑性0=sr34=epTT塑性极限扭矩：平衡方程：∫⋅⋅⋅=RrdrrT02πτ)(322334sssrRGrT−+=τπαπ33)(13134)(3134eseRrTTαα−=−=21eααeTT11340eeTTαα=eTT≤3)(3134eeTTαα−=eTT扭矩与单位扭转角弹性弹塑性22三、理想弹塑性材料的厚壁球壳θϕdϕdθrσθσϕσxyz内半径为,外半径为球壳,受内压力,求弹塑性应力及其极限荷载.abq该问题是球对称的。采用球坐标主应力:1230,0rθϕσσσσσσ====rσθσϕσ不为零的应力分量23弹性范围•平衡方程•几何方程•边界条件20rrddrrθσσσ−+=drdur=εru==ϕθεεqarr−==σ0==brrσ24弹性状态：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=33)(11)(rbabqrσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=33)(2111)(rbabqθσ屈服条件：srσσσθ=−球壳最先在内壁屈服，达到弹性极限状态。弹性极限内压力：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3)(132baqseσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3)(132baqqseσ当内压力增大：壳体内同时存在弹、塑性区25球对称问题的平衡方程：20rrddrrθσσσ−+=边界条件：qarr−==σ塑性区：srra≤≤srσσσθ=−屈服条件：2ln12lnrssrqarqaθϕσσσσσ=−⎛⎞==+−⎜⎟⎝⎠absr塑性区弹性区弹塑性交界面q弹塑性状态：26弹性区：brrs≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=33)(11)(rbrbqsrσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=33)(2111)(rbrbqsθσarqqssrrrsln20σσ−=−=−=界面面力连续条件：弹性极限压力条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3)(132brqssσarbrqssssln2)(1323σσ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=建立与之间的关系：qsr27塑性极限状态：当,球壳全部进入塑性。塑性极限压力：srb=2lnpsbqaσ=此时塑性区的应力为：2ln12lnrssrbrbθϕσσσσσ=⎛⎞==+⎜⎟⎝⎠3)(1)ln(3baabqqep−=极限内压力比值：28四、理想弹塑性材料的厚壁圆筒内半径为,外半径为的厚壁圆筒,受内压为.假定是不可压缩的理想弹塑性材料,平面应变问题.取柱坐标,使轴与筒轴线重合.abqz弹性状态1/2ν=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=1)(1)(22rbabqrσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=1)(1)(22rbabqθσ1)()(212−=+=abqrzθσσσ29θσσ=1zσσ=2rσσ=3主应力：()()()22212233112iσσσσσσσ=−+−+−应力强度为：最大应力强度发生在内壁处22)(1)(3)(23rbabqri−=−=σσσθ根据Mises屈服条件得到弹性极限压力为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2)(13baqseσ30弹塑性状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2)(13baqqseσ靠近筒内壁附近形成塑性区，筒壁内弹、塑性区共存。absr塑性区弹性区弹塑性交界面qsriσσσσθ=−=)(23屈服条件：θσσ=1zσσ=2rσσ=3主应力：)(21θσσσ+=rz0rrddrrθσσσ−+=平面轴对称问题的平衡方程：塑性区：srra≤≤31内壁边界条件：qarr−==σ2ln321ln321ln23rsszsrqarqarqaθσσσσσσ=−+⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠塑性区的应力：圆筒的弹性区相当于内壁刚屈服的厚壁圆筒⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=1)(1)(22rbrbqsrσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=1)(1)(22rbrbqsθσ弹性区brrs≤≤32arqqssrrrsln320σσ−=−=−=界面面力连续条件：弹性极限压力条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2)(13brqssσarbrqssssln32)(132σσ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=建立与之间的关系：qsr塑性极限状态：当,厚壁筒全部进入塑性。塑性极限压力：srb=abqspln32σ=33塑性区的应力为：2ln321ln321ln23rsszsrbrbrbθσσσσσσ=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠2)(1)ln(2baabqqep−=极限内压力比值：34basr弹性应力弹塑性应力塑性极限应力残余应力θσθσθσθσθσrσrσrσrσ++++−−−−残余应力卸载是弹性过程应力改变量是由弹性关系计算残余应力等于卸载前应力减去应力改变量eqq≤eqqpqq=0=q35五、理想弹塑性材料的旋转圆盘bsr塑性区弹性区弹塑性交界面O理想弹塑性材料的等厚薄圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴等速旋转离心惯性力：nmaF−=面内应力和应变轴对称问题，剪力为零,和为主应力rσθσ平面应力0=zσ36,rudurdrθεε==应变和位移：20rrdrdrrθσσσρω−++=平衡方程：)(12θνεενσ+−=rrE)(12rEνεενσθθ+−=Hooke定律：弹性状态：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−−+−=22222)1(8)3)(1()1(1rCrEAErνννρωννσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−+−=22222)1(8)3)(1()1(1rCrEAEνννρωννσθ应力一般解：37显然在圆心处首先屈服，达到弹性极限状态：()()22038srbθρωνσσ=+==sθσσ=Tresca屈服条件：()813sebσωρν=+弹性极限转速：0rzθσσσ=()()()()2222223313,883rrbrbθρωνρωννσσν⎛⎞+++=−=−⎜⎟+⎝⎠应力状态：边界条件：圆心的位移有限；圆盘外边缘的应力为零38弹塑性状态：当时,圆盘从圆心向外进入塑性,弹塑性区共存。eωω塑性区：srr≤≤020rrdrdrrθσσσρω−++=屈服条件：sθσσ=22,3rssrθρωσσσσ=−=平衡方程：自然边界条件：圆心应力有限39弹性区看作为内半径为,外半径为的空心旋转圆盘srb弹性区：brrs≤≤()223ssrsrrrρωσσ==−()0rrbσ==边界条件：srr=()ssrrθσσ==满足屈服条件：由上面三个条件就可以确定待定常数，从而得到弹塑性状态时弹性区的应力和转速ω,,CA40()()22281311,24ssyrMybMbνσωρ++−===其中3spbσωρ=srb=1y=当时,整个圆盘进入塑性状态。令即得到塑性极限转速：8)3(3νωω+=ep极限转速比值：15.1≈epωω5.0=ν