机器人的数学基础及模型建立

基于机器人的算法设计AlgorithmdesignbasedonRobot1授课教师：温秀平AlgorithmdesignbasedonRobot2第2章机器人的数学基础及模型建立第二章机器人的数学基础及模型建立主要内容一、矩阵相关知识二、位置和姿态描述三、坐标变换四、机械手的运动学方程五、机械手的动力学方程3第二章机器人的数学基础及模型建立一、矩阵相关知识由m×n个数(1≤i≤m,1≤j≤n)排成m行n列的数表称为m×n矩阵。也可以写作，其中称为元素。ija111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa()ijmnAaija1矩阵的定义4第二章机器人的数学基础及模型建立2矩阵的加法设有矩阵，则矩阵定义为(),()ijmnijmnAaBb111112121121212222221122()nnnnijijmnmmmmmnmnmnababababababABababababAB一、矩阵相关知识5第二章机器人的数学基础及模型建立3矩阵的乘法一、矩阵相关知识11221()()=()iikmskjsnijmnsijikkjijijissjkabmnccabababab设，，那么是一个矩阵，令,其中1m,1jnA=B=ABCAB=,111211111212212111sjnjniiisssjsnmmmnjjaaabbbbbbiaaabbbaaa第列第列第行111111jniijinmmjmncccccciccc第行6第二章机器人的数学基础及模型建立一、矩阵相关知识4矩阵的转置T11121112112122212222T1212Ti,j1312725,35474矩阵转置矩阵是个矩阵它的)记为(或)。则如：则nmnmmmmnnnnmaaaaaaaaaaaaaaaaaaijjimn=(a)的一nm，(元素是a,AAAAAAA7第二章机器人的数学基础及模型建立5矩阵的逆一、矩阵相关知识1,nnn设是阶矩阵,若存在阶矩阵满足称是可逆矩阵称为的逆矩阵,记为。ABABAABAABBE6分块矩阵对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法。如：111213142122232412313233343441424344aaaaaaaaAAAaaaaAAaaaa8第二章机器人的数学基础及模型建立二、位置和姿态描述1位置描述刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐标向量来描述。其中是点P在坐标系中的三个坐标分量，也称为位置矢量。OAxAzAyAAppxpypzTAxyzpppp,,xyzpppAAp9第二章机器人的数学基础及模型建立二、位置和姿态描述2方向描述为了描述刚体的方向，需要建立一个与刚体固联在一起的坐标系,刚体相对于坐标系的方位可以用旋转矩阵（方向余弦矩阵）表示，即111213212223313233ABABABABABABABABABABrrrRrrrrrriiijikjijjjkkikjkkBA10第二章机器人的数学基础及模型建立1平移坐标变换三、坐标变换OABABppp平移坐标变换特点：两坐标系坐标轴相互平行，但坐标原点不同平移坐标变换11第二章机器人的数学基础及模型建立2旋转坐标变换三、坐标变换AABBpRp旋转坐标变换特点：两坐标系坐标原点相同，但坐标轴方向不同旋转坐标变换12第二章机器人的数学基础及模型建立三、坐标变换2旋转坐标变换100R(x,)0cossin0sincoscos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（xyzouvwU'W'O'xyzouvwU'W'O'v'绕y轴旋转绕z轴旋转13第二章机器人的数学基础及模型建立3复合变换三、坐标变换复合变换OAABABBpRpp复合变换特点：两坐标系坐标原点不同，坐标轴方向也不同。14第二章机器人的数学基础及模型建立三、坐标变换4齐次坐标变换用4×1的列向量来表示三维坐标系内的点的坐标，称为点的齐次坐标。把式OAABABBpRpp写成等价形式1111OOABAABBABABBRppppRpo式中1OAABBABRpTo称为齐次变换矩阵。15第二章机器人的数学基础及模型建立4齐次坐标变换三、坐标变换1OAABBABRpTo齐次变换矩阵的一些性质：（1）它代表了坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述，是{B}的原点在{A}中的位置矢量，则是{B}在{A}中的姿态。（2）它表示{B}从与{A}重合开始，先沿进行平移变换，再按进行旋转变换得到的复合变换的结果。OABpOABpABRABR16第二章机器人的数学基础及模型建立4齐次坐标变换三、坐标变换对于仅有平移变换的情况，记作100010(,,)0010001AAAAAAxyABxyzzppTransppppABT对于仅有基本旋转变换的情况，{B}绕{A}的X轴或Y轴或Z轴旋转角的齐次变换矩阵分别记为17第二章机器人的数学基础及模型建立4齐次坐标变换三、坐标变换10000cos-sin0Rot(X,)=0sincos00001cos0sin00100Rot(Y,)=-sin0cos00001cos-sin00sincos00Rot(Z,)=00100001ABABAB18第二章机器人的数学基础及模型建立4齐次坐标变换三、坐标变换（3）若为{B}相对于{A}的齐次变换矩阵，为{C}相对于{B}的齐次变换矩阵，那么{C}相对于{A}的齐次变换矩阵为ABTBCTACTAABCBCTTT（4）的逆的一般形式为ABT0101ATATABBBABBARRpTT19第二章机器人的数学基础及模型建立1机械手相关参数定义四、机械手的运动学方程ib连杆扭角连杆长度连杆间距关节转角20第二章机器人的数学基础及模型建立1机械手相关参数定义四、机械手的运动学方程（1）连杆扭角：相邻两关节轴线之间的夹角。（2）连杆长度：相邻两关节轴线的公垂线长度。（3）连杆间距：关节i,i+1轴线的公垂线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的距离。（4）关节转角（）：关节i,i+1轴线的公垂线与关节i,i-1轴线的公垂线之间的夹角。iibidiqi21第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程2机械手运动学方程的建立（1）坐标系{i}的建立1iyiy1iyib22第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程2机械手运动学方程的建立（1）坐标系{i}的建立选择bi在关节i轴线上的垂足为坐标系原点，关节i轴线方向为Zi轴，bi所在直线为Xi轴，Yi轴按右手规则确定。（2）确定坐标系{i}相对于{i-1}的坐标变换坐标系{i}可以看作是先与{i-1}重合，然后经过四次坐标变换得到的一个坐标系。这四次变换依次为：先绕Xi-1旋转，再沿Xi-1平移bi-1，绕后绕Zi轴旋转，最后沿Zi平移di，即可得到坐标系{i}。1ii23第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程2机械手运动学方程的建立11111111111111(X,)(,0,0)(,)(0,0,)cossin0sincoscoscossinsinsinsincossincoscos0001iiuvwiuiiviwiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTRotTransbRotZTransdbdd对于具有n个连杆的机械手，建立运动学方程时，要确定末端手爪坐标系{n}相对于基座坐标系{0}的坐标变换。再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得001112nnnTTTT24第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程3两关节机械手运动学方程的建立（举例）例：两关节机械手的形状如图所示，它由一个基座，两个连杆，两个关节构成。两个关节的轴线平行，长度分别为。12,LL12,JJ12,LL12,ll解：首先，建立如图所示的坐标系{0}，{1}，{2}；然后根据已知条件确定两关节机械手的连杆参数，如下表所示：25第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程3两关节机械手运动学方程的建立（举例）00000iL1L2L1i1ibidi1l12接下来根据连杆参数求各连杆坐标系之间的齐次变换矩阵，可得1122111220112cos-sin00cos-sin0sincos00sincos00,0010001000010001lTT26第二章机器人的数学基础及模型建立四、机械手的运动学方程3两关节机械手运动学方程的建立（举例）根据齐次变换矩阵乘法规则可得121211121211001212cos()sin()0cossin()cos()0sin00100001llTTT上式就是两关节机械手的运动学方程，它表明了机械手的末端手爪在空间的位置和姿态与各关节位移之间的关系。同时也可以求得机械手末端手爪在坐标系{0}中的位置向量，即12,27第二章机器人的数学基础及模型建立121211212121100221121211212cos()sin()0cossin()cos()0sin00010000011cos+cos()sin+sin()=01lllpTpllll四、机械手的运动学方程3两关节机械手运动学方程的建立（举例）28第二章机器人的数学基础及模型建立五、机械手的动力学方程机械手动力学研究的就是机械手的运动与产生这种运动的力和力矩之间的关系。将机械手的连杆看作刚体，那么它的力F与力矩N满足牛顿—欧拉方程，即FmaNII式中：I表示刚体的惯性张量，w表示角速度，a表示加速度。其中惯性张量I由下面矩阵表示：29第二章机器人的数学基础及模型建立五、机械手的动力学方程()()()22XXv22YYv22ZZvIy+zdvIx+zdvIx+ydvXXXYXZYXYYYZZXZYZZIIIIIIIIII其中：分别表示密度和微分体积单元，x,y,z是刚体中点p的坐标分量。,dvXYvXZvYZvIxydvIxzdvIyzdv30第二章机器人的数学基础及模型建立五、机械手的动力学方程下面直接给出两关节机械手的动力学方程。22122122122122112212222122122212211222122121221222122212()cos(2)()sin2sincos()()coscossincos()()11tmlmllmmlmllmllmlgmmlgtmllmllmlgml令1212,TTtt31第二章机器人的数学基础及模型建立五、机械手的动力学方程()(,