专题一阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。性质9|AF|·|BF|=|QF|2.性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:Cyx=的焦点为F，动点P在直线:20lxy--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为2201110(,)(,)(()xxxxxx¹和，∴切线AP的方程为：20020;xxyx--=切线BP的方程为：21120;xxyx--=解得P点的坐标为：0101,2PPxxxyxx+==所以△APB的重心G的坐标为，222201010101014(),3333PpPGxyyyyxxxxxxxxy-+++++-====所以234pGGyyx=-+，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyxyxx--+-==-+即（2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244xxFAxxFPxxFBxx+=-=-=-uuuruuuruuur由于P点在抛物线外，则||0.FP¹uuur∴20100100122200111()()2444cos,1||||||||()4xxxxxxxxFPFAAFPFPFAFPFPxx+?--+×?==+-uuuruuuruuuruuuruuuruuur同理有20110110122211111()()2444cos,1||||||||()4xxxxxxxxFPFBBFPFPFBFPFPxx+?--+×?==+-uuuruuuruuuruuuruuuruuur∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当1010000,,0,0,xxxxxy=?=时由于不妨设则所以P点坐标为1(,0)2x，则P点到直线AF的距离为：211111||14;:,24xxdBFyxx-=-=而直线的方程xyOABPFl即211111()0.44xxxyx--+=所以P点到直线BF的距离为：2211111122222111||11|()|()||42442121()()44xxxxxxdxxx-++===+-+所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当100xx¹时，直线AF的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxxyxx--=---+=-即直线BF的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxxyxx--=---+=-即所以P点到直线AF的距离为：2220101001000112222000111|()()||)()||42424121()44xxxxxxxxxxxdxxx+---++-===+-+，同理可得到P点到直线BF的距离102||2xxd-=，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB奎屯王新敞新疆例2(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．……4分所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx=相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc=-交于,PQ，（1）若2OAOB?uuuruuur，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为ykxc=+，所以()20xkxcc=+，即20xkxc--=，设A()()1122,,,xyBxy，OAuuur=()11,xy，()22,OBxy=uuur，因为2OAOB?uuuruuur，所以12122xxyy+=，即()()12122xxkxckxc+++=，()221212122xxkxxkcxxc+-++=所以222ckckckc--++=g，即220,cc--=所以()21cc==-舍去（2）设过Q的切线为()111yykxx-=-，/2yx=，所以112kx=，即2211111222yxxxyxxx=-+=-，它与yc=-的交点为M11,22xccx骣÷ç÷ç--÷ç÷÷ç桫，又21212,,2222xxyykkPc骣骣++÷÷çç÷÷ç=?÷÷çç÷÷÷ç÷ç桫桫，所以Q,2kc骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫，因为12xxc=-,所以21cxx-=，所以M12,,222xxkcc骣骣÷ç÷ç÷÷ç+-=-ç÷÷çç÷÷ç÷ç桫桫,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,2kc骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫，因为PQ^x轴，所以,2PkPy骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫因为1222xxk+=，所以P为AB的中点。例4（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为22(0)xpyp=，M为直线2yp=-上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．（Ⅰ）求证：AMB，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p-，时，410AB=．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp=上，其中，点C满足OCOAOB=+uuuruuuruuur（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22xxAxBxxxMxppp骣骣鼢珑鼢珑-鼢珑鼢珑鼢珑桫桫，，，，，，．由22xpy=得22xyp=，得xyp¢=，所以1MAxkp=，2MBxkp=．因此直线MA的方程为102()xypxxp+=-，直线MB的方程为202()xypxxp+=-．所以211102()2xxpxxpp+=-，①222202()2xxpxxpp+=-．②由①、②得121202xxxxx+=+-，因此1202xxx+=，即0122xxx=+．所以AMB，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x=时，将其代入①、②并整理得：2211440xxp--=，2222440xxp--=，所以12xx，是方程22440xxp--=的两根，因此124xx+=，2124xxp=-，又222112021222ABxxxxxppkxxpp-+===-，所以2ABkp=．由弦长公式得2221212241()411616ABkxxxxpp=++-=++．又410AB=，所以1p=或2p=，因此所求抛物线方程为22xy=或24xy=．（Ⅲ）解：设33()Dxy，，由题意得1212()Cxxyy++，，则CD的中点坐标为12312322xxxyyyQ骣++++÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫，，设直线AB的方程为011()xyyxxp-=-，由点Q在直线AB上，并注意到点121222xxyy骣++÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫，也在直线AB上，代入得033xyxp=．若33()Dxy，在抛物线上，则2330322xpyxx==，因此30x=或302xx=．即(00)D，或20022xDxp骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫，．（1）当00x=时，则12020xxx+==，此时，点(02)Mp-，适合题意．（2）当00x¹，对于(00)D，，此时2212022xxCxp骣+÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫，，2212022CDxxpkx+=221204xxpx+=，又0ABxkp=，ABCD^，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp++===-gg，即222124xxp+=-，矛盾．对于20022xDxp骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫，，因为2212022xxCxp骣+÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫，，此时直线CD平行于y轴，又00ABxkp=?，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00x¹时，不存在符合题意的M点．综上所述，仅存在一点(02)Mp-，适合题意．例5（2008江西卷，理21题）设点()00,Pxy在直线(),01xmymm=贡上，过点P作双曲线221xy-=的两条切线PAPB、，切点为AB、，定点M(1m，0)．（1）过点A作直线0xy-=的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在的曲线方程；（2）求证：AMB、、三点共线．证明：（1）设1122(,),(,)AxyBxy，由已知得到120yy¹，且22111xy-=，22221xy-=，设切线PA的方程为：11()yykxx-=-由1122()1yykxxxyìï-=-ïïíï-=ïïî得2221111(1)2()()10kxkykxxykx------=从而2222211114()4(1)()4(1)0kykxkykxkD=-+--+-=,解得11xky=因此PA的方程为：111yyxx=-同理PB的方程为：221yyxx=-又0(,)Pmy在PAPB、上，所以1011yymx=-，2021yymx=-即点1122(,),(,)AxyBxy都在直线01yymx=-上又1(,0)Mm也在直线01yymx=-上,所以三点AMB、、共线（2）垂线AN的方程为：11yyxx-=-+，由110yyxxxyìï-=-+ïïíï-=ï