第十四章--整式的乘法与因式分解

全品大讲堂九年级上册新课标（RJ）数学本课件仅供交流学习使用，严禁用于任何商业用途第十四章整式的乘法与因式分解章末复习第十四章整式的乘法与因式分解章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接章末复习知识框架整式的乘法与因式分解乘法公式幂的运算因式分解整式乘法整式除法章末复习同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂的运算am·an=am+n(m,n都是正整数)(ab)n=anbn(n为正整数)(am)n=amn(m,n都是正整数)章末复习整式乘法单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘章末复习整式除法同底数幂的除法am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且mn)a0=1(a≠0)章末复习乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2章末复习因式分解提公因式法公式法平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2章末复习【要点指导】幂的运算的关键是指数的处理,熟练掌握幂的运算性质,才能灵活运用其解决问题.幂的运算性质：(1)am·an=am+n(m,n都是正整数)；(2)(am)n=amn(m,n都是正整数)；(3)(ab)n=anbn(n为正整数)；(4)am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且mn).归纳整合专题一幂的运算章末复习例1下列运算正确的是().A．a2·a3=a6B．(-a3)2=-a6C．(ab)2=ab2D．2a3÷a=2a2D分析选项判断正确结果A×a2·a3=a5B×(-a3)2=a6C×(ab)2=a2b2D√2a3÷a=2a2章末复习相关题1-1下列计算正确的是().A．x4·x4=x16B．(a3)2·a4=a9C．(ab2)3÷(-ab)2=-ab4D．(a6)2÷(a4)3=1D章末复习相关题1-2下列计算正确的是().A．a·a2=a2B．(ab)3=ab3C．(a2)3=a6D．a10÷a2=a5C章末复习【要点指导】乘法公式是整式运算的重要内容,应用极为广泛,初中阶段学的乘法公式是最常用的乘法公式.平方差公式：(a+b)·(a-b)=a2-b2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2.运用乘法公式进行多项式的运算与化简时,要结合题目特点及幂的运算性质等灵活解决.专题二乘法公式的运用章末复习例2已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值.分析由已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,就目前的知识水平,求出a和b的具体值是比较困难的,但由整式的乘法公式可以得出a2+2ab+b2=7,①a2-2ab+b2=4.②由①+②可以求出a2+b2的值,由①-②可以求出ab的值.章末复习解由题意,得a2+2ab+b2=7,①a2-2ab+b2=4,②由①+②,得2(a2+b2)=11,∴a2+b2=.由①-②,得4ab=3,∴ab=.章末复习相关题2[茂名中考]计算：(1)(2x-3y)2；(2)(x+y)(x+y)(x2+y2)；(3)(x+y)2-(x-y)2.章末复习解(1)(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2.(2)(x＋y)(x＋y)(x2＋y2)＝(x2＋2xy＋y2)(x2＋y2)＝(x2＋y2)2＋2xy(x2＋y2)＝x4＋2x2y2＋y4＋2x3y＋2xy3.(3)解法一：原式＝x2＋2xy＋y2－(x2－2xy＋y2)＝x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2＝4xy.解法二：原式＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)＝4xy.章末复习【要点指导】幂的运算性质、平方差公式、完全平方公式以及整式的运算法则、因式分解等都可以简化运算,也可以解决某些求值问题,要学会灵活运用它们进行简便运算或求值.专题三运用公式进行简便运算章末复习例3请用简便方法计算：(1)8.2×201.9+4.6×201.9-2.8×201.9；(2)解(1)8.2×201.9+4.6×201.9-2.8×201.9=201.9×(8.2+4.6-2.8)有相同的项,先提公因式=201.9×10=2019.章末复习章末复习相关题3用简便方法计算：(1)5352×4-4652×4；(2)1012-2×101×99+992.解(1)5352×4－4652×4＝4×(5352－4652)＝4×(535＋465)×(535－465)＝4×1000×70＝280000.章末复习(2)1012－2×101×99＋992＝(101－99)2＝22＝4.章末复习【要点指导】在化简求值的过程中,可根据算式特点灵活运用乘法公式及因式分解进行变形,转化运算顺序,使复杂的问题变得简单易解.专题四整式的化简求值章末复习例4先化简,再求值：(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中a=1.5,b=-2.解(a+b)(a-b)+a(2b-a)=a2-b2+2ab-a2=-b2+2ab.把a=1.5,b=-2代入上式,得原式=-(-2)2+2×1.5×(-2)=-4-6=-10.章末复习相关题4[福州中考]先化简,再求值：(x+2)2+x(2-x),其中x=．解：(x＋2)2＋x(2－x)＝x2＋4x＋4＋2x－x2＝6x＋4.当x＝13时，原式＝6×13＋4＝2＋4＝6.章末复习【要点指导】常用的因式分解方法有两种：一是提公因式法,二是公式法.其中提公因式法是最基本的方法,因此在因式分解时,若多项式有公因式,则应先提取公因式,再考虑用其他方法分解.若多项式是二项式,则考虑利用提公因式或运用平方差公式来分解；若多项式是三项式,则考虑利用提公因式或完全平方公式来分解.最后检查分解是否彻底.专题五因式分解的运用技巧章末复习例5将下列各式分解因式：(1)-3x2+6xy-3y2；(2)4xy2-4x2y-y3；(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2；(4)(x2+y2)2-4x2y2.章末复习分析多项式分解过程(1)-3x2+6xy-3y2提取公因式-3→运用完全平方公式(2)4xy2-4x2y-y3提取公因式-y→运用完全平方公式(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2连续两次运用完全平方公式(4)(x2+y2)2-4x2y2运用平方差公式→运用完全平方公式章末复习解(1)-3x2+6xy-3y2=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2.(2)4xy2-4x2y-y3=-y(4x2-4xy+y2)=-y(2x-y)2.(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2=(a2+1-2a)2=(a2-2a+1)2=[(a-1)2]2=(a-1)4.(4)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.章末复习相关题5把下列各式分解因式：(1)0.49p2-144；(2)(2x+y)2-(x+2y)2；(3)y2+y+；(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2章末复习解(1)0.49p2－144＝(0.7p)2－122＝(0.7p＋12)(0.7p－12)．(2)(2x＋y)2－(x＋2y)2＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝(3x＋3y)(x－y)＝3(x＋y)(x－y)．章末复习(3)y2＋y＋14＝y2＋2·y·12＋122＝y＋122.(4)(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2＝(m＋n)2－2·2m·(m＋n)＋(2m)2＝(m＋n－2m)2＝(n－m)2.章末复习素养提升【要点指导】在求某个式子的值时,由已知条件无法直接求出所含字母的值或求所含字母的值比较麻烦时,可将所求的式子或已知条件适当变形,整体代入求值.把一个式子作为一个整体参与运算的过程,是整体思想方法在本章中运用的体现.专题一整体思想在化简求值中的应用章末复习例1已知x2-2x=1,求(x-1)(3x+1)-(x+1)2的值.分析先化简所求式,再把x2-2x=1两边同乘2整体代入.解：原式=3x2+x-3x-1-x2-2x-1=2x2-4x-2.∵x2-2x=1,∴2(x2-2x)=2,即2x2-4x=2.∴原式=2-2=0.是x2-2x的2倍章末复习相关题1-1已知a+b=3,ab=-2,则(a+1)(b+1)=_____,a2+ab+b2=______.292章末复习解析∵a＋b＝3，ab＝－2，∴(a＋1)(b＋1)＝ab＋(a＋b)＋1＝－2＋3＋1＝2；12a2＋ab＋12b2＝12(a2＋2ab＋b2)＝12(a＋b)2＝12×32＝92.章末复习相关题1-2[菏泽中考]已知4x=3y,求(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.解：(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2＝－4xy＋3y2＝－y(4x－3y)．∵4x＝3y，∴原式＝0.章末复习【要点指导】数形结合思想就是把数和形结合起来考查,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便解决问题的方法．专题二利用数形结合解决问题章末复习例2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图14-Z-1所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,那么(a+b)2的值是____.25章末复习分析由图14-Z-1可知,小正方形的边长恰好是两直角边的差,则小正方形的面积为(a-b)2=1,而大正方形的面积与小正方形的面积之差恰好是4个直角三角形的面积,即4·ab=13-1=12.又(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,则(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4×6=25.章末复习相关题2我们知道,平方差公式、完全平方公式均可用平面几何图形的面积来表示.实际上,还有许多式子能用这种形式表示.如式子(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2可以用图14-Z-2①表示.(1)请根据图②写出一个恒等式；(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示恒等式(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.章末复习解：(1)(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.(2)如图所示：章末复习中考链接母题1(教材P104习题14.1第1题)下面的计算对不对？如果不对,应当怎样改正？(1)b3·b3=2b3；(2)x4·x4=x16；(3)(a5)2=a7；(4)(a3)2·a4=a9；(5)(ab2)3=ab6；(6)(-2a)2=-4a2.章末复习考点：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项.考情：幂的运算性质是中考的热点考题,难度不大,但是容易混淆出错.策略：正确理解同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项的法则.章末复习链接1[盘锦中考]下列运算正确的是().A．3x+4y=7xyB．(-a)3·a2=a5C．(x3y)5=x8y5D．m10÷m7=m3D章末复习分析A项,3x,4y不是同类项,不能合并,此选项错误；B项,(-a)3·a2=-a5,此选项错误；C项,(x3y)5=x15y5,此选项错误；D项,m10÷m7=m3,此选项正确.章末复习母题2(教材P105习题14.1第7题)求值：x2(x-1)-x(x2+x-1),其中x=章末复习考点：整式的加、减、乘、除、乘方等运算法则和运算顺序.考情：整式的化简求值是中考中重要的考点,常以解答题的形式出现.策略：(1)先化简,后求值；(2)先算乘方,再算乘除,最后算加减；(3)同一级运算,按从左到右的顺序进行；(4)如有括号,先算括号里的运算,一般按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.章末复习链接2[吉林中考]某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)时出现了错误,他的解答过程如下：原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+