平面直角坐标系中的旋转

旋转专题(一)例1.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A'的坐标为(a,b),则点A的坐标为()B'A'ABCxyOA.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)D利用旋转的性质求点的坐标如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(－2，0)，C(－3，1)．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）．A．(2，1)B．(2，3)C．(4，1)D．(0，2)A2[2011·舟山]如图28－8，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为()图28－8A．30°B．45°C．90°D．135°C3[2010·徐州]如图28－9，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是()图28－9A．点MB．格点NC．格点PD．格点QB(4)如图29－18，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是(3，2)，(1，3)．△AOB绕点O逆时针．．．旋转90°后得到△A1OB1.(直接填写答案)图29－18①点A关于O点中心对称的点的坐标为________；②点A1的坐标为________；③在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为________．(－3，－2)(－2，3)102π(5)如图29－19，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－1)，B(－3，－3)，C(－1，－3)．①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．图29－19解：①如图所示，A1(－2，1)；②如图所示，A2(2，1)．例.如图，把两张边长为10cm的正方形纸片放在桌面上，使一张纸片的顶点放在另一张正方形纸片的中心位置O处.试问，桌面被两张正方形纸片所覆盖的那部分面积是多少？OOO延伸:(1)如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转.求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖的总长度为定值a（圆心O是在正方形内）.OABCD解答：解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO=45°，又∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠DON，在△AMO与△DNO中，∠MAO＝∠NDOOA＝OD∠AOM＝∠DON，∴△AMO≌△DNO（ASA），∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN=AD=a．特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．｛OABCDMN在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．2解：（1）AD=CF。理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，∴△AOD≌△COF（SAS）。∴AD=CF。（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2。∴DG=OG=OE=×2=1。∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=。222212121DGAG2214221717例、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P`CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（ba），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'AC，∴S△PAB=S△P'AC，（1）①=+--=-=90π()÷360=（）；ba224ba22S阴影SABC扇形SCBP`SPBP`扇形SABPSABC扇形SPBP`扇形例、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P`CB的位置（如图1）.②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.②连接PP′，根据旋转的性质可知：BP=BP′，∠PBP′=90°；即：△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′=45°，∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，∴∠BPA+∠BPP′=180°，即A、P、P′共线，∴∠PP′C=135-45°=90°；在Rt△PP′C中，PP′=，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．24例、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，∴PC2+P′C2=PP′2，∴∠P′CP=90°；∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；∵∠BPA=∠BP′C，∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．