复合函数单调性

复习准备对于给定区间I上的函数f(x)，若对于I上的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)()f(x2),则称f(x)是I上的增（减）函数，区间I称为f(x)的增（减）区间。1、函数单调性的定义是什么？复习准备2、证明函数单调性的步骤是什么？证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步：取值第二步：作差变形第三步：定号第四步：判断下结论复习准备3、现在已经学过的判断函数单调性有些什么方法？正比例函数：y=kx(k≠0)反比例函数：y=k/x(k≠0)一次函数ｙ＝kx＋b(k≠0)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)另:).0,0(,,,baxbaxyxaxybaxdcxyxy复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=f(u)内函数外函数y=f[g(x)]原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量复合函数的单调性复合函数单调性定理：①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系：f(u)g(x)f[g(x)]法则同增异减三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。2yx2x-3例1、求函数的单调区间。1x-3x03-2xx2，或解：），＋［］，－原函数的定义域为（－13uy,3-2xxu2则令）上为增函数，＋在［］为减函数，－在（－而）为增函数，，＋在［133-2xxu0uy22yx2x-313函数的单调递增区间为［，＋），单调递减区间为（－，－］题型1.求单调区间的单调区间。求函数34xxy2练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性例2：设y=f(x)的单调增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的单调区间。y=f(x)y=f(u)u=2-xu622-x640y=f(u)26u2(4,0)y=(2)40xxxfx解：2-是由和复合而成由已知得2（－，）在（，）上是增函数，在上是减函数，由复合函数单调性可知，在（－，）上是减函数。），的单减区间是（－04)2(xfP103(4,6)注意：求单调区间时，一定要先看定义域。可转化为不等式组解：依题意，)1x()1(2fxf例3：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1),求x的取值范围。1111111122xxxx1020202xxxx或21x注：在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。保证实施的是等价转化易错点练习P106(6)题型2.解不等式例4：已知f(x)在其定义域R＋上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x－2)≤33)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfxfxyf解：)2()2()(2xxfxfxf又)8()2(2fxxf由题意有82020R)(2xxxxxf上的增函数为＋42，解得x解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，本题就抓住这点想办法构造出f(8)=3,这样就能用单调性解不等式了。P106(8)1x=y=0f(0)=0,x=yf(0)=f(x)f(x),f(x)=-f(x)证明：（）令可得令-可得+--121221Rx,xxxf(x)f(x)在上任取两数且则2121=f(x)+f(-x)=f(x-x)1221xxx-x021x0f(x)0,f(x-x)0又因为时，2112f(x)f(x)0,f(x)f(x)即f(x)R由函数单调性定义知，是上的减函数练习：已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x+y)=f(x)+f(y),2且当x0时,f(x)0,f(1)=-3(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.练习：已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x+y)=f(x)+f(y),2且当x0时,f(x)0,f(1)=-3(1)求证:f(x)是R上的减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(2)f(x)Rf(x)33在上是减函数，在［－，］上也是减函数minmaxf(x)=f(3),f(x)=f(-3)2f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(-)=23f(-3)=-f(3)=2f(x)3322.函数在［－，］上最大值为，最小值为－P105(3)