大学课件 高等数学 下学期 5-6(反常积分)

定义1设函数)(xf在区间),[a上连续，取ab，如果极限babdxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间),[a上的广义积分，记作adxxf)(.adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.一、无穷限的广义积分类似地，设函数)(xf在区间],(b上连续，取ba，如果极限baadxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间],(b上的广义积分，记作bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间),(上连续,如果广义积分0)(dxxf和0)(dxxf都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的广义积分，记作dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf0)(dxxf0)(limaadxxfbbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.例1计算广义积分.12xdx解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0arctanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlimbbarctanlim.22例2计算广义积分解.1sin122dxxx21sin12dxxx211sinxdxbbxdx211sinlimbbx21coslim2cos1coslimbb.1例3证明广义积分11dxxp当1p时收敛，当1p时发散.证,1)1(p11dxxp11dxx1lnx,,1)2(p11dxxp111pxp1,111,ppp因此当1p时广义积分收敛，其值为11p；当1p时广义积分发散.例4证明广义积分apxdxe当0p时收敛，当0p时发散.证apxdxebapxbdxelimbapxbpelimpepepbpablim0,0,pppeap即当0p时收敛，当0p时发散.定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.二、无界函数的广义积分类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作badxxf)(badxxf)(lim0.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim0否则，就称广义积分badxxf)(发散.定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.例5计算广义积分解).0(022axadxa,1lim220xaaxax为被积函数的无穷间断点.axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2例6证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证,1)1(q101dxx10lnx,,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.101dxxq例7计算广义积分解.ln21xxdx21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)ln(lnlimx))1ln(ln()2ln(lnlim0.故原广义积分发散.例8计算广义积分解.)1(3032xdx1x瑕点3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx10032)1(limxdx33132)1(xdx31032)1(limxdx,2333032)1(xdx).21(33无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(三、小结思考题积分的瑕点是哪几点？101lndxxx思考题解答积分可能的瑕点是101lndxxx1,0xx1lnlim1xxx,11lim1xx1x不是瑕点,101lndxxx的瑕点是.0x