大学课件 高等数学 下学期 6-6(曲面及其方程)

第六节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结上一页下一页水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．曲面的实例：一、曲面方程的概念上一页下一页以下给出几例常见的曲面.例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，RMM||0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx上一页下一页例2求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0MMMO根据题意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程为上一页下一页例3已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解上一页下一页从以上三个例子可以看出求曲面方程的一般步骤：1.设坐标;2.根据题意列等式;3.代入坐标;4.化简得所求曲面方程.上一页下一页zxyo例4方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz根据题意有1z用平面cz去截图形得圆：)1(1)2()1(22ccyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．解c上一页下一页以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．上一页下一页xozy0),(zyf),,0(111zyMM),,,(zyxM设1)1(zz（2）点M到z轴的距离||122yyxd旋转过程中的特征：如图将代入2211,yxyzz0),(11zyfd二、旋转曲面上一页下一页将代入2211,yxyzz0),(11zyf,0,22zyxfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.得方程同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf上一页下一页曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.上一页下一页例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．解yoz面上直线方程为cotyz因为旋转轴为轴,所以只需将上面方程中的改成,就可得到圆锥面方程cot22yxz),,(zyxM),,0(111zyMyxzOzyz上一页下一页例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面上一页下一页（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面上一页下一页定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.所形成的曲面称为移动的直线L柱面.LC准线母线三、柱面上一页下一页xyzOxyzOxy平面表示母线平行于zxy22.22xyxy表示母线平行于z轴.xyxy22抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线上一页下一页从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例12222czby椭圆柱面12222byax双曲柱面pzx22抛物柱面,0),(,yxFzyx的方程而缺只含直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴上一页下一页1.二次曲面的定义即为二次曲面.相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为lxgzxfyzexyczbyax222qnmlgfecba,,,,,,,,,其中均为常数.球面、二次曲面.0qnzmy如:双曲柱面等)某些柱面(圆柱面、抛物柱面、一次曲面.都是二次曲面.四、二次曲面上一页下一页xyzO1.椭球锥面22222xyzab上一页下一页2.椭球面(椭圆面)1222222czbyaxzxyOxyzO上一页下一页椭球面的几种特殊情况:)1(1222222czayax旋转椭球面12222czax由椭圆旋转椭球面与椭球面的区别：122222czayx方程可写为与平面1zz)||(1czba1222222czbyaxa绕z轴旋转而成.的交线为圆.上一页下一页cba)2(1222222azayax球面2222azyx方程可写为xyzO上一页下一页3.双曲面单叶双曲面1222222czbyax特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号.0炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状.OxyzxyzO上一页下一页双叶双曲面1222222czbyax1222222czbyax或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.它分成上、下两个曲面.注xyzO上一页下一页4.椭圆抛物面2222xyzabxyzO22xzaXOZ平面上的抛物线222xyza旋转抛物面上一页下一页2222xyzab5.双曲抛物面(马鞍面)xyzO用截痕法讨论：上一页下一页截痕法;(熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双曲面.曲面方程的概念旋转曲面的概念(轴、母线)及求法;柱面的概念(母线、准线);;0),,(zyxF五、小结上一页下一页