大学课件 高等数学 下学期 7-1（多元函数）

1/37第一节多元函数一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性五、小结2/37一、平面点集1.平面点集、n维空间一元函数1R平面点集2Rn维空间nR实数组(x,y)的全体,即},),({2RyxyxRRR建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作}.),(),({PyxyxE具有性质二元有序3/372.邻域设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0})()(),({),(20200yyxxyxPU,0邻域的点P令,0).(0PU有时简记为称之为①将邻域去掉中心,②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)注称之为的全体点称之为点P0邻域.去心邻域.),(0PU4/37(1)内点显然,E的内点属于E.,EP点,)(EPU使E(2)外点如果存在点P的某个邻域),(PU则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.3.任意一点2RP2RE与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,,0若存在称P为E的内点.1P)(1P)(2P2P3P)(3PE的边界点的全体称为E的边界,记作.E使U(P)∩E=,5/374.聚点如果对于任意给定的,0点P的去心邻域),(PU内总有E中的点则称P是E的聚点.例如,设点集(P本身可属于E,也可不属于E),},21),({22yxyxE,),(200RyxP点,212020yx若则P为E的内点;12020yx若,22020yx或则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界E为集合}.2),({}1),({2222yxyxyxyx6/376.平面区域设D是开集.连通的开集称区域连通的.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如都是区域.},41),({22yxyx}0),({yxyx5.开集若E的任意一点都是内点,例}41),({221yxyxE称E为开集.E1为开集.0yx0yxOxy结起来,7/37开区域连同其边界,称为7.有界区域否则称为都是闭区域.},41),({22yxyx}0),({yxyx如总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域,称此区域为半径(可伸展到无限远处的区域).闭区域.有界区域.无界区域8/37OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域9/37n元有序数组),,,(21nxxx),,,(21nxxx的全体;nRn维空间中的每一个元素称为空间中kx数称为该点的第k个坐标.n维空间中两点),,,(21nxxxP的距离定义为2222211)()()(nnyxyxyxPQn维空间中点0P记作及),,,(21nyyyQ}.,{),(00nRPPPPPUδδ的邻域为8.n维空间n维空间.称为即}.,2,1,),,({21iRxxxxin的一个点,RRRRn10/37二、多元函数的概念1.二元函数的定义(1)定义按着这个关系有唯一确定的),(yxfz))((Pfz或称为该函数的Dyxyxfzz),(),,(则称z是x,y的若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,记为称x,y为的数集二元(点)函数.称z为自变量,因变量,定义域,值域.点集D称为该函数11/37二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为函数在点处的函数值),(yxfz),(00yxP),(00yxf).(0Pf或类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的12/37例1.求下面函数的定义域.解.Oxy无界闭区域xyz)1(和00yx00yx即定义域为,0xy13/371解.Oxy12)2(2222yxyxxz1)1(22yx定义域是122yx且有界半开半闭区域14/372.二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张曲面.),(yxfzDxyzOMxyP15/37222yxRz的图形是双曲抛物面.如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.又如,xyz最后指出,从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.16/37三、多元函数的极限讨论二元函数Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的),,(yxfz.),(),(000时的极限即yxPyxP路径又是多种多样的.,,00yyxx当方向有任意多个,),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy17/37(2)变点P(x,y)这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.2020)()(yyxx),(),(000yxPyxP00PP总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,),(),(00yxPyxP趋向于18/37,0,)()(02020yyxx当,0),(yxfzA为则称Ayxfyyxx),(lim00记作)0(),(Ayxf或)(1、定义有成立.的极限.时当),(),(00yxyx设二元函数P0(x0,y0)是D的聚点.的定义),()(yxfPf域为D,如果存在常数A,AyxfAPf),()(APfPP)(lim0也记作).()(0PPAPf或19/37相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf想一想：21/372、确定极限不存在的常用方法则可断言极限不存在;),(yxP令若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使处极限不存在.存在,在点),(yxf),(000yxPkxy),,(000yxP趋向于沿直线(3).)(lim00不存在的方式，选取一种PfPPPP22/37设函数证明:0,00,),(222222yxyxyxxyyxf证.函数的极限不存在.,0,0时当yx例3.当P(x,y)沿直线y=kx的方向2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．无限接近点(0,0)时,23/37极限是否存在？24200limyxyxyx取,kxy解.242yxyx),(lim0yxfkxyx222243kxkxxkxkx0lim220kxkxkxyx例4.极限不存在.取,2xy242yxyx444xxx2124/37四、多元函数的连续性设二元函数则称函数1、定义),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyxP0(x0,y0)为D的聚点，且P0∈D.如果连续.),(),(000yxPyxf在点如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,),(yxf或称函数),(yxf是D内的连续函数.的定义域为D,),()(yxfPf25/37的不连续点,若函数在点P0(x0,y0)不连续,称P0为函数间断点.若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,),(yxf都有定义,则在这些孤立点或这些曲线上,即间断点.函数),(yxf都是函数),(yxf),(yxf则的),(yxf在单位圆122yx2211sin),(yxyxf函数处处是间断点.26/37称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数处均连续.在它们的定义域的内点27/37有界闭区域上连续的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次．介于这两值之间的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得2、28/37多元函数的极限的基本问题有三类(1)研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2)求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(3)研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.(罗必达法则除外)),,(limyxf0x0kxy3、29/37例5.求极限.)sin(lim22200yxyxyx解.22200)sin(limyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyx,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu22||22xxyyxyxyxyx2200)sin(lim,222yxyx30/37例6.求极限.42lim00xyxyyx解.将分母有理化,得42lim00xyxyyxxyxyxyyx)42(lim00)]42([lim00xyyx431/37证明f(x,y)在000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设证.,022时当yx,)0,0(),(时故当yx.)0,0(),(也连续在下面证明yxfxOy面上处处连续.22)(sin),(yxyxxyyxf是初等函数，),(yxf处处连续.例7.32/37又02||lim00yxyx于是0)(sinlim2200yxyxxyyx.)0,0(),(也连续在从而yxf即证明了f(x,y)在由于22)(sinyxyxxy22)(yxyxxy2yx)0,0(fxOy面上处处连续.000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设33/37五、小结多元函数的极限多元函数连续性有界闭区域上连续多元函数的性质(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异)多元函数的概念内点,边界点,聚点,开集,连通,区域