大学课件 高等数学 下学期 7-2（偏导数）

1/25第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、偏导数的几何意义四、高阶偏导数三、偏导数存在与连续的关系五、小结2/25一、偏导数的定义及其计算法定义),(yxfz设函数,0yy固定为将),(),(0000yxfyxxfzxxzxx0lim存在,处在点),(),(00yxyxfz的某邻域在点),(00yx内有定义，,0时处有增量在而xxx函数有相应的增量如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000则称此极限为函数(称为关于x的偏增量).对x的偏导数。3/25记为,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或).,(00yxfx同理,可定义函数处在点),(),(00yxyxfz为yzyy0limyyxfyyxfy),(),(lim00000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或).,(00yxfy对y的偏导数,4/25那么这个偏导数仍是yx、的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作,xz,xfxz或).,(yxfx同理,可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作,yz,yfyz或).,(yxfy在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,),(yxfz),(yxfz5/25偏导数的概念可以),,(zyxfx),,(zyxfy),,(zyxfz推广到二元以上函数如,),,(zyxfu处在),,(zyx,),,(),,(lim0xzyxfzyxxfx,),,(),,(lim0yzyxfzyyxfy.),,(),,(lim0zzyxfzzyxfz6/25求多元函数的偏导数利用一元函数),,(yxfx如求只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,例1.求的偏导数.)0(xxzy解.,1yyxxzxxyzyln求某一点的偏导数时,变为一元函数,代入,可将其它变量的值再求导,常常较简单.7/25三个偏导数.2lnsin)(),,(xazzyxfxy求解.12]ln[sinxx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2xxx2000y002z例2.在点(1,0,2)处的])2,0,([xf8/25证.VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT1:pTTVVp求证,,,,为常数为温度为体积为压强RTVp例3.其中程已知理想气体的状态方,RTpV9/25二、偏导数的几何意义),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设在点),(000yxM有如图,),(yxfz为曲面偏导数.上的一点,0M),(yxfzyzO过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于偏导数),(00yxfx等于一元函数),(0yxf的导数),(0yxf,0xx故由一元函数导数的几何意义0x0yx10/25可知:0xyTxT0y),(yxfzyzO),(0yxfz0M偏导数),(00yxfx在几何上表示曲线),(yxfz0yy在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对x轴的斜率;偏导数),(00yxfy在几何上表示曲线),(yxfz0xx在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对y轴的斜率.),(0yxfzx11/25).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当解.例4..),(的偏导数求yxf,)0,0(),(时当yx),(yxfxy222)(yx)(22yxxxy2,)()(22222yxxyy),(yxfy222)(yx)(22yxxyxy2.)()(22222yxxyx,)0,0(),(时当yx按定义得12/25)0,0(xf00lim0xx)0,0(yf00lim0yy注但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.xfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0,)0,0(),(时当yx按定义得).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当.),(的偏导数求yxf由以上计算可知,),(yxf在点)0,0(处可偏导,13/25三、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续多元函数中在某点偏导数存在连续x=x0上的值有关,所以偏导数存在不能保证函数说明因偏导数fx(x0,y0)仅与上的值有关,偏导数fy(x0,y0)仅与的函数值无关,有极限.函数f(x,y)在y=y0函数f(x,y)在而与(x0,y0)邻域内其他点上更保证不了连续性.14/25二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D例5.选择题.15/25xz),(yxfyy),,(yxfxy),(yxfyx函数),(yxfz的二阶偏导数为混合偏导定义x22xz),,(yxfxx22yzyzyyxz2xzyxyz2yzx四、高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为16/25例6.xyyxz23求的四个二阶偏导数.解.xz,322yyx,23xyx22xz,62xy22yz,23xxyz2.162yxyxz2;162yxyz17/25例7.).0,0(),(0),0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当设解.,)0,0(),(时当yx),(yxfx),(yxfy有2223222)(2)(3yxxyxyxyx,)(232224222yxyxyxyx.)(222223223yxyxyxx).0,0()0,0(yxxyff和求18/25,)0,0(),(时当yx按定义得)0,0(xfxx0lim0)0,0(yfyy0lim0xfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0)0,0(xfyfyfxxy)0,0()0,0(lim02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx,0)0,0(yfxfxfyyx)0,0()0,0(lim0.122223223)(2),(yxyxyxxyxfy00).0,0(),(0),0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当设).0,0()0,0(xyxyff和求yx19/25多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏),(yxfyx与),(yxfxy在区域D内定理连续，那么在导数该区域内在例6中两个混合二阶偏导数相等,例7中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关.但在).,(yxfyx),(yxfxy),(yxfz20/25多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段.例如方程22222xzayz(a是常数)称为波动方程,它可用来描述各类波的运动.又如方程02222yzxz称为拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用.21/2522lnyxz,22yxxxz.02222yzxz1、验证函数满足拉普拉斯方程:22lnyxz证.因2222222)(2)(yxxxyxxz,)(22222yxxy由x,y在函数表达式中的对称性,),ln(2122yx立即可写出,22yxyyz,)(2222222yxyxyz即证.练习22/25).()0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(22处在点yxyxyxxyyxfA.连续,偏导数存在;B.连续,偏导数不存在;C.不连续,偏导数存在;D.不连续,偏导数不存在.C练习3.23/25偏导数的定义偏导数的计算高阶偏导数(偏增量比的极限)纯偏导混合偏导(相等的条件)五、小结偏导数的几何意义偏导数存在与连续、极限的关系